Integralwert über Summe

30.07.2012, 17:45

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Integralwert über Summe

Hi Leute,

ich möchte gerne den Wert eines Integrals über die Summe bestimmen.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n f(a+k\Delta x)\cdot\Delta x \end{eqnarray*}$

Die Funktion ist, $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ in den Grenzen von $\begin{eqnarray*} [2,4] \end{eqnarray*}$ .

Mein vorgehen ist wie folgt:

$\begin{eqnarray*} \Delta x=\frac{b-a}{n}=\frac{4-2}{n}=\frac{2}{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n f\left(2+\frac{2k}{n}\right)\cdot\frac{2}{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n f\left(\frac{2n+2k}{n}\right)\cdot\frac{2}{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n \left(\frac{2n+2k}{n}\right)^2\cdot\frac{2}{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n \left(\frac{4n^2+8nk+4k^2}{n^2}\right)\cdot\frac{2}{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n \frac{8n^2+16nk+8k^2}{n^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n \frac{8}{n}+\frac{16k}{n^3}+\frac{8k^2}{n^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{n\to\infty}\left[\sum_{k=0}^n \frac{8}{n}+\frac{16}{n^3}\sum_{k=0}^nk+\frac{8}{n^3}\sum_{k=0}^nk^2\right] \end{eqnarray*}$

Nun würde ich die zweite Summe wie auch die dritte umschreiben zu:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\left[\sum_{k=0}^n \frac{8}{n}+\frac{16}{n^3}\cdot\frac{n(n+1)}{2}+\frac{8}{n^3}\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right] \end{eqnarray*}$

Was stelle ich denn nun mit der Summe innerhalb der Klammer an, wie kriege ich die denn noch weg? verwirrt

verwirrt

30.07.2012, 17:53

Rmn

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, n ist kein Laufindex
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \frac{8}{n} = \frac{8}{n} \sum_{k=0}^n 1=8 \end{eqnarray*}$
oder habe ich was übersehen?

30.07.2012, 18:03

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

@rmn

ist nicht

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n 1 = n+1 \end{eqnarray*}$ ?

Edit:
War nur eine Frage. Ansonsten bin ich weg. Wink

Wink

Mit freundlichen Grüßen.

30.07.2012, 18:04

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

"oder habe ich was übersehen?"
Ein wenig:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n1=n+1 \end{eqnarray*}$ .
Macht aber auch keinen Unterschied im Grenzwert Augenzwinkern

Augenzwinkern

Im mittleren Summanden muss aber noch ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gekürzt werden.

Ansonsten stimmt der Wert dann.

mfg,
Ché Netzer

30.07.2012, 18:06

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh man...

Forum Kloppe

Also habe ich dann,

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} 8+\frac{16}{n^3}\cdot\frac{n(n+1)}{2}+\frac{8}{n^3}\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{n\to\infty}8+\frac{16(n^2+n)}{2n^3}+\frac{16n^3+8n^2+16n^2+8n}{6n^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{n\to\infty}8+\frac{16n^2+16n}{2n^3}+\frac{16n^3+24n^2+8n}{6n^3} \end{eqnarray*}$

Wenn ich mich nicht verrechnet habe. verwirrt

verwirrt

D.h. dann erhalte ich doch,

$\begin{eqnarray*} =8+0+\frac{16}{6}=\frac{32}{3} \end{eqnarray*}$

Das stimmt aber leider nicht, denn:

$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{1}{3}x^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(4)-F(2)=\frac{56}{3} \end{eqnarray*}$

Wo habe ich denn einen Fehler reingehauen?

30.07.2012, 18:13

Rmn

Auf diesen Beitrag antworten »

Da fehlt noch 8 von mittleren Term. Du hast dort ein n im Zähler verloren.
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n \frac{8}{n}+\frac{16kn}{n^3}+\frac{8k^2}{n^3} \end{eqnarray*}$

Anzeige

30.07.2012, 18:13

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Che Netzer
Im mittleren Summanden muss aber noch ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gekürzt werden.

Wink

Augenzwinkern

Seitdem du den großen Bruch in der Summe in drei Brüche aufgeteilt hast.

30.07.2012, 18:24

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, hier

$\begin{eqnarray*} =\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n \frac{8}{n}+\frac{16k}{n^2}+\frac{8k^2}{n^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{n\to\infty}8+\frac{16}{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}{2}+\frac{8}{n^3}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$

Ist das nun korrekt? verwirrt

verwirrt

30.07.2012, 18:30

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Jein. Die Grenzwerte sind zwar gleich (d.h. die Gleichung stimmt so), aber wenn du nur Termumformungen vornehmen möchtest, bräuchtest du noch das $\begin{eqnarray*} \tfrac{n+1}n \end{eqnarray*}$ bei der ersten 8 in der zweiten Zeile.

Ansonsten würde ich so etwas wie $\begin{eqnarray*} \tfrac{n(n+1)}{n^2}\to1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \tfrac{n(n+1)(2n+1)}{n^3}\to2 \end{eqnarray*}$ auch einfach hinschreiben, das muss man sicher nicht immer extra ausmultiplizieren. (oder soll das so gemacht werden?)

Edit: Oh, mir fällt gerade auf, dass ich die ganze Zeit über antworte, obwohl ich erst als dritter hier war. Tut mir leid smile

smile

30.07.2012, 18:37

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich dachte für Konstanten gilt, $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n b=b\cdot n \end{eqnarray*}$

Das wäre dann ja $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n\frac{8}{n}=\frac{8}{n}\cdot n=8 \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

30.07.2012, 18:41

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zähl doch mal die Summanden oder sieh dir $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^11 \end{eqnarray*}$ an. Ist das 1 oder 2? Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.07.2012, 18:43

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, 1

Big Laugh

30.07.2012, 18:52

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, dann haben wir jetzt also 1+1=1.
Daraus folgern wir, dass 1 das Nullelement der reellen Zahlen ist, wissen aber auch, dass $\begin{eqnarray*} 0\neq1 \end{eqnarray*}$ . Das bedeutet, wir haben zwei Nullelemente, was zu einem Widerspruch führt.
Folgerung: Die reellen Zahlen existieren nicht Teufel

Teufel

Edit: "gleich" durch "ungleich" ersetzt

30.07.2012, 18:55

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Che Netzer
Okay, dann haben wir jetzt also 1+1=1.
Daraus folgern wir, dass 1 das Nullelement der reellen Zahlen ist, wissen aber auch, dass 0=1. Das bedeutet, wir haben zwei Nullelemente, was zu einem Widerspruch führt.
Folgerung: Die reellen Zahlen existieren nicht Teufel

Teufel

Die Argumentation gefällt mir, ich wusste doch schon immer da ist was faul. Big Laugh

Big Laugh

Ich habe das mit $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n b=b\cdot n \end{eqnarray*}$ berechnet. Also,

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^1 1=1\cdot 1=1 \end{eqnarray*}$

Oh man... verwirrt

verwirrt

30.07.2012, 18:57

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Für allgemeine $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ ist also $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^1a_k=a_0+a_1 \end{eqnarray*}$ , aber wenn man $\begin{eqnarray*} a_n\equiv1 \end{eqnarray*}$ wählt, wird es zu 1 smile

smile

30.07.2012, 19:03

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, ich habe nun den Wert raus. smile

smile

Viele Dank für eure Hilfe.

Viele Grüße, hangman Wink

Wink

30.07.2012, 19:57

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte noch eine Frage. Demnach gilt doch:

$\begin{eqnarray*} \int_a^bf(x)dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n f(a+k\Delta x)\Delta x \end{eqnarray*}$

ist das korrekt?

30.07.2012, 20:24

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn $\begin{eqnarray*} \Delta x=\tfrac{b-a}n \end{eqnarray*}$ , ja.
Zumindest wenn alles wohldefiniert ist etc.

30.07.2012, 20:25

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Endlich habe ich das auch mal verstanden. Tanzen

Tanzen

Vielen Dank!

Gruß, hangman Wink

Wink

30.07.2012, 20:29

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, später arbeitet man sowieso nur noch mit dem Lebesgue-Integral Augenzwinkern

Augenzwinkern

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »