Integration: Substitution, Schritt "Ermittlung der Stammfunktion in der Variablen u"

30.07.2012, 21:49

Cori

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Integration: Substitution, Schritt "Ermittlung der Stammfunktion in der Variablen u"

Meine Frage:
Hallo ihr,

bisher war ich nur stummer Mitleser und euer Board hat mir schon sehr oft aus der Patsche geholfen. Nun neigt sich mein Fernabi aber doch irgendwie dem Ende zu und demnächst sind Prüfungen ... und ich steh mit Integralrechnungen immer noch auf dem Kriegsfuß! Dank diversen Büchern bin ich aber schon einen Riesenschritt weiter. Momentan stehe ich allerdings vor einem schwerwiegenden Verständigungsproblem ...

Bsp-Gleichung: I = $\begin{eqnarray*} \int \! \sqrt{1 + 3x} \, dx \end{eqnarray*}$

Hilfsfunktion / neue Variable: $\begin{eqnarray*} U(x) = 1 + 3x bzw. x(u) = \frac{u - 1}{3} <br /> \end{eqnarray*}$
Transformation des Differentials:
$\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx} = 3 \Rightarrow du = 3 dx, dx = \frac{1}{3} du \end{eqnarray*}$
bzw. $\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx} = \frac{1}{3} \Rightarrow dx = \frac{1}{3} du \end{eqnarray*}$

Durchführung der Substitution:
$\begin{eqnarray*} \int \! \sqrt{1 + 3x} \, dx = \int \! \sqrt{u} \, \cdot \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int \! \sqrt{u} \, du \end{eqnarray*}$

Soweit ist alles nachvollziehbar und (inzwischen) verständlich ... nur dann kommt der vierte Schritt ...

Ermittlung der Stammfunktion in der Variablen u:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \int \! \sqrt{u} \, du = \frac{1}{3} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C \end{eqnarray*}$

Bei einer Seite las ich zu diesem Vorgang "zu 'vergessen', was u ist und nach u zu integrieren".

Mein Verständigungsproblem: Wo kommen die $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ her und wo ist das d hin?

Meine Ideen:
Idee zum sonstigen Aussehen des Teil-Terms:

$\begin{eqnarray*} u^{\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$ kommt, nehme ich mal an, von dem u vom du, dass mit dem $\begin{eqnarray*} \sqrt{u} = u^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ multipliziert wird (die Exponenten werden ja addiert?! $\begin{eqnarray*} {\frac{1}{2}} + 1 = {\frac{3}{2}}) \end{eqnarray*}$

Die Integrationskonstante + C gehört zum " $\begin{eqnarray*} \int \! f(x) \, dx = F(x) + C \end{eqnarray*}$ "-Teil dazu, bis a und b als Grenzen eingesetzt werden, dann kann man es weglassen.

Stammfunktion F(x) ist die Ableitungsfunktion von f(x), da F'(x) = f(x).

Ach ja, bei der Beispiel-Aufgabe kommt am Ende raus:
$\begin{eqnarray*} I = \frac{2}{9}(1 + 3x)^{{3}{2}} + C \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, jemand kann mir dieses "plötzliche Erscheinen" des Bruchs erklären, so dass ich's endlich verstehe. Das "Selbstlernen" kostet mich hier echt noch den letzten Nerv Augenzwinkern

Augenzwinkern

Vielen Dank schon einmal und liebe Grüßle,
Cori

30.07.2012, 21:51

Cori

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Oh, jetzt habe ich mir mit diesen Formeln so 'ne Mühe gegeben und sie werden nicht angezeigt. Hab ich irgendwo ein Häkchen vergessen zu setzen oder ist das nur den angemeldeten Usern gestattet? Sorry geschockt

geschockt

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Edit von Mulder: Damit deine Mühe nicht umsonst war, hab ich das mal für dich nachgebessert. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du musst deine Formeln in die Latex-Umgebung packen, also so:

code:
1:	[latex]Hier dann deine Formeln rein [/latex]

Dann klappt das auch. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Den f(x)-Button findest du über dem Textfenster, wenn du einen Beitrag verfasst.

30.07.2012, 21:59

Cheftheoretiker

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RE: Integration: Substitution, Schritt "Ermittlung der Stammfunktion in der Variablen u"
Hi,

$\begin{eqnarray*} I = \int \! \sqrt{1 + 3x} \, dx \end{eqnarray*}$

Du bist richtig vorgegangen und hast auch korrekt substituiert.

$\begin{eqnarray*} u=1+3x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx}=3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx=\frac{1}{3}du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\int\sqrt{u}\cdot\frac{1}{3}du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{3}\int u^{\frac{1}{2}}du \end{eqnarray*}$

Nun wird integriert mit $\begin{eqnarray*} \frac{x^{n+1}}{n+1} \end{eqnarray*}$

Dann erhälst du auch deine $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

Viele Grüße, hangman smile

smile

30.07.2012, 22:39

Cori

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Erst einmal vielen Dank an Mulder für's Editieren. Das habe ich glatt überlesen!

hangman: Ok, aber was ist dann x und was n? Das x(u) = $\begin{eqnarray*} \frac{u - 1}{3} \end{eqnarray*}$ kann damit ja nicht gemeint sein, da dort noch die Variable u auftaucht ... oder muss ich hier die Hilfsfunktionen kombinieren, um das u zu eliminieren?

$\begin{eqnarray*} x(u) = \frac{u - 1}{3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u(x) = 1 + 3x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x = \frac{(1 + 3x) - 1}{3} = \frac{3x}{3} = x \end{eqnarray*}$

... naja, dass x = x ist, hätte ich jetzt auch ohne diese Rechnung gewusst ^^ Kann also auch nicht sein ...

Liebe Grüßle,
Cori

30.07.2012, 22:43

Cheftheoretiker

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Das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist dein $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ und das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ sind $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ . Also, $\begin{eqnarray*} \frac{u^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} \end{eqnarray*}$

30.07.2012, 22:53

Cori

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Aaaaah! Cool, da ist die Logik wieder! Tausend Dank dir smile

smile

Und das Integrieren bei der Substitution läuft immer nach der Formel $\begin{eqnarray*} \frac{x^{n+1}}{n+1} \end{eqnarray*}$ ab?

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30.07.2012, 23:05

Cheftheoretiker

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Zitat:

Original von Cori
Und das Integrieren bei der Substitution läuft immer nach der Formel $\begin{eqnarray*} \frac{x^{n+1}}{n+1} \end{eqnarray*}$ ab?

Nein, so integriert man Potenzen. smile

smile

Bei der Integration gibt es nicht DAS Verfahren. In der Schule kommen aber denke mal keine komplizierten Integrale vor. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Viele Grüße, hangman Wink

Wink

31.07.2012, 07:13

Cori

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Achso, also für jede Art eine eigene Formel? Stehen die irgendwo? In meinen "schlauen Büchern" wurde der Schritt ja immer übersprungen und einfach als gegeben betrachtet ...

Zitat:

In der Schule kommen aber denke mal keine komplizierten Integrale vor.

Unterschätz da mal nicht das Fernschuleninstitut Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber ich hab jetzt immerhin einen Ansatz zum Üben, der mir seeeehr weiterhilft!

31.07.2012, 07:56

Cheftheoretiker

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Zitat:

Achso, also für jede Art eine eigene Formel? Stehen die irgendwo? In meinen "schlauen Büchern" wurde der Schritt ja immer übersprungen und einfach als gegeben betrachtet ...

Ne, die gibt es leider nicht. Man sagt so schön, differenzieren ist Handwerk und integrieren ist Kunst. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Viele Grüße, hangman Wink

Wink

31.07.2012, 08:09

Cori

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Hm, und wie bist du dann in diesem Fall auf deine Formel zum Integrieren gekommen?

Sorry, falls ich nerv, aber ich will's ja wirklich nur verstehen und vor allem anwenden können.

31.07.2012, 08:21

Cheftheoretiker

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Schau mal hier, Potenzfunktion

Du kannst alle Potenzen mit dieser Formel integrieren. smile

smile

31.07.2012, 08:44

Huggy

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Zitat:

Original von hangman
Du kannst alle Potenzen mit dieser Formel integrieren. smile

smile

Nein!
Bei n = -1 stimmt das nicht.

31.07.2012, 10:23

Cheftheoretiker

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Zitat:

Original von Huggy

Zitat:

Original von hangman
Du kannst alle Potenzen mit dieser Formel integrieren. smile

smile

Nein!
Bei n = -1 stimmt das nicht.

Jep, da haste recht.

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{x}dx=lnx \end{eqnarray*}$

Viele Grüße, hangman Wink

Wink

31.07.2012, 11:56

Cori

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Ok, also die Formel gilt bei allen $\begin{eqnarray*} x^{n} \end{eqnarray*}$ , außer n = -1. Steht das dann in Vertretung für alle negativen Exponenten, für alle ungeraden und negativen Exponenten oder wirklich nur für -1? Und wenn $\begin{eqnarray*} x^{n} = u^{n} \end{eqnarray*}$ , aber u nur einfach vorhanden ist, kann ich dann einfach n = 1 nehmen und die Formel verwenden oder ist das ebenfalls ein Sonderfall?

31.07.2012, 12:22

Cheftheoretiker

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$\begin{eqnarray*} x^{-1} \end{eqnarray*}$ hat die Stammfunktion $\begin{eqnarray*} ln(x) \end{eqnarray*}$

Sonst kannst du mit der Formel soweit jede Potenzfunktion integrieren.

31.07.2012, 12:32

Cori

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Wunderbar. Vielen, vielen Dank Gott

Gott

Nun kann ich's endlich nachvollziehen, juhu! Mal sehen, wie viele Hürden noch kommen werden, aber die grundlegendste ist schon einmal mit Bravour gemeistert.

Liebe Grüßle,
Cori
Freude

Freude

31.07.2012, 12:46

Cheftheoretiker

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Keine Ursache! smile

smile

Viele Grüße, hangman Wink

Wink

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