Grenzwert berechnen

31.07.2012, 08:49

n3rdfr34k

Grenzwert berechnen

Hallo ihr,
ich habe ein dickes Problem:
Ich möchte folgenden Grenzwert berechnen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt{n + \sqrt{n}}-\sqrt{n} \end{eqnarray*}$ (1.0)
Hinweis war, dass man den Satz von L'Hôpital irgendwann anweden soll.

Ich habe mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{n + \sqrt{n}}+\sqrt{n} \end{eqnarray*}$ (1.1) erweitert und kam dann durch ausmultiplizieren (wobei sich einiges gegenseitig aufhebt) auf folgenden Bruch, der auch laut sehr knapp gehaltener Musterlösung noch korrekt ist:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n + \sqrt{n}}+\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ (1.2)

Wenn ich jetzt L'Hôpital anwende, komme ich leider nicht auf das was die Musterlösung sagt. Da steht:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{n}}}+1} \end{eqnarray*}$ (1.3)
was dann wohl zu $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ (1.4) werden dürfte, das stimmt dann auch mit Wolfram Alpha überein.

Wie wende ich L'Hôpital in Formel 1.2 nun korrekt an um auf Formel 1.3 zu kommen? Ein etwas ausführlicher Rechenweg oder oder eine Erklärung wäre sehr hilfreich für mich

Vielen Dank schon einmal

31.07.2012, 09:20

Simmi

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Vielleicht erstmal nur der Tipp in (1.2) mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ zu kürzen.

31.07.2012, 09:42

n3rdfr34k

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wie kann ich denn bitte aus der Summe im Nenner kürzen??

$\begin{eqnarray*} \lim_{ n \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{n + \sqrt{n}}}{\sqrt{n}}+1} \end{eqnarray*}$ (1.5)
wie das bringt mich doch nicht weiter?

31.07.2012, 09:50

HAL 9000

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Zitat:

Original von n3rdfr34k
wie das bringt mich doch nicht weiter?

Doch, das "bringt dich schon weiter" (saudummer Spruch übrigens), wenn du da mal die Potenz- bzw. Wurzelgesetze einbringst.

31.07.2012, 09:50

Simmi

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Na mal als Beispiel: $\begin{eqnarray*} a+b = a (1 + \frac{b}{a} ) \end{eqnarray*}$

Sprich: Du könntest erstmal den Nenner als Produkt von $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ schreiben. Oder aber einfach beide Summanden im Nenner durch $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ teilen.

Edit:

Ach ja das hast du bereits gemacht. Gut ja wie HAL schon sagte. Potenz- und Wurzelgesetze beachten wär jetzt noch ne Idee.

31.07.2012, 10:12

Valdas

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RE: Grenzwert berechnen
Übrigens: eine (meines Erachtens recht elegante) Methode wäre hier mittels AM-GM-HM folgende Ungleichung zu folgern:

$\begin{eqnarray*} \frac 12 \geq \sqrt{n+\sqrt{n}}-\sqrt{n}\geq\frac 1{2+\frac 1{\sqrt{n}}},~n\in\mathbb N. \end{eqnarray*}$

31.07.2012, 10:21

n3rdfr34k

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okay danke, ich habe die Aufgabe nun hinbekommen:
ich man schreibt $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} n^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ und die äußere Wurzel von $\begin{eqnarray*} \sqrt{n+\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ auch als Potenz, nimmt dann das Potenzgesetz und zieht die Potent (also das hoch(1/2)) raus um den kompletten Bruch drumrum.
Dann kürzt man fröhlich in dem Bruch weiter rum und kommt auf (1.3)

(sorry LaTeX mag mich gerade nicht, sonst hätte ich es hier in LaTeX gepostet

Frage: Wozu ist dann der Hinweis mit L'Hôpital da?

31.07.2012, 10:30

Valdas

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Zitat:

Original von n3rdfr34k
Frage: Wozu ist dann der Hinweis mit L'Hôpital da?

Um Verwirrung zu stiften?!?

31.07.2012, 10:32

Simmi

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Man muss natürlich nicht extra $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} n^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ umschreiben, aber wenn dir das hilft, kannst das natürlich trotzdem machen.

Zitat:

Original von n3rdfr34k
Frage: Wozu ist dann der Hinweis mit L'Hôpital da?

Gute Frage. Ich könnt mir vorstellen, dass der Hinweis in die Richtung zielte, es als Bruch umzuformen.

31.07.2012, 10:36

Mystic

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RE: Grenzwert berechnen
Eine weitere Methode (ohne L'Hospital) besteht darin, dass man nach der Umformung

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n+\sqrt n}-\sqrt n = \frac{\sqrt{1+\frac1{\sqrt n}}-1}{(1+\frac1 {\sqrt n})-1} \end{eqnarray*}$

den fraglichen Grenzwert als Ableitung der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt x \end{eqnarray*}$ an der Stelle x=1 interpretiert...

Edit: Und ja, l'Hospital ist hier wohl das, was man im Englischen einen red herring nennt (=falsche Fährte, ausgelegt von Tierschützern bei den engl. Fuchsjagden) ...

31.07.2012, 10:52

n3rdfr34k

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alles klar.
Naja ok das mit dem Hinweis nehme ich einfach mal so hin...

Vielen Dank noch einmal.

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