Potenzreihe

31.07.2012, 10:45

Crazy007

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Potenzreihe

Meine Frage:
Hallo ich bin gerade beim üben und habe probleme bei einer Aufgabe:

Bestimmen Sie mit dem Quotientenkriterium oder dem Wurzelkriterium die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen:

Ich hab bereits versucht mit dem Wurzelkriterium zu lösen,weiss aber allerdings nicht mehr weiter.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n} * (2x)^n<br /> <br /> Wurzelkriterium:<br /> <br /> \frac{1}{n}* \sqrt{(2x)^n} = \frac{1}{n}* 2x \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
bereits gepostet

31.07.2012, 10:54

Cheftheoretiker

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RE: Potenzreihe
Hi,

ich würde die Sache mit dem Quotientenkriterium angehen.

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\frac{2^n\cdot x^n}{n} \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\left|\frac{2^n\cdot x^n}{n}:\frac{2^{n+1}\cdot x^{n+1}}{n+1}\right| \end{eqnarray*}$

31.07.2012, 10:58

Crazy007

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Soll ich jetzt einfach den Kehrwert nehmen um das auszurechnen?

31.07.2012, 11:08

Cheftheoretiker

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Zitat:

Original von Crazy007
Soll ich jetzt einfach den Kehrwert nehmen um das auszurechnen?

Ja, was erhälst du dann? smile

smile

31.07.2012, 11:11

Valdas

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RE: Potenzreihe
Bestimme zunächst mal die Koeffizienten der Potenzreihe!

Dann kannst Du den Kgz.-Rad. mit der Formel Deiner Wahl ganz einfach ausrechnen.

31.07.2012, 11:14

Equester

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@hangman: Was hat den bei deinem $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ noch das x zu suchen geschockt

geschockt

?

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31.07.2012, 11:15

shipwater

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An hangman: Was soll das sein was du im ersten Beitrag gerechnet hast? Ist jetzt schon das zweite mal, dass du so ansetzt daher wollte ich dich mal darauf hinweisen. Schau noch mal nach wie das Quotientenkriterium tatsächlich lautet.

Gruß Shipwater

Edit: Namen ausgebessert Augenzwinkern

Augenzwinkern

31.07.2012, 11:18

Cheftheoretiker

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Zitat:

Original von shipwater
An hagman: Was soll das sein was du im ersten Beitrag gerechnet hast? Ist jetzt schon das zweite mal, dass du so ansetzt daher wollte ich dich mal darauf hinweisen. Schau noch mal nach wie das Quotientenkriterium tatsächlich lautet.

Gruß Shipwater

Für Potenzreihen lautet das Quotientenkriterium doch,

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\lim_{n\to\infty}\frac{a_n+1}{a_n}} \end{eqnarray*}$

Nun habe ich einfach den Kehrwert genommen sprich,

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n+1}} \end{eqnarray*}$

Oder ist das ein Fehler? verwirrt

verwirrt

Gruß, hangman Wink

Wink

31.07.2012, 11:26

shipwater

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Wie Equester schon schreibt haben da dann aber die $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nichts mehr verloren. Bei $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty a_n \cdot x^n \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \mbox{R}=\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right| \end{eqnarray*}$ (falls dieser Grenzwert existiert)
Die Formel von Cauchy-Hadamard scheint mir hier aber sowieso mit weniger Rechnung verbunden zu sein.

Gruß Shipwater

31.07.2012, 11:27

Cheftheoretiker

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Zitat:

Wie Equester schon schreibt haben da dann aber die $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nichts mehr verloren.

Ja, da muss ich euch recht geben, ich ziehe das x erst immer nach dem kürzen vor den limes. Entschuldigung falls es für Verwirrung gesorgt hat. smile

smile

Viele Grüße, hangman Wink

Wink

31.07.2012, 11:35

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von hangman

Zitat:

Wie Equester schon schreibt haben da dann aber die $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nichts mehr verloren.

Ja, da muss ich euch recht geben, ich ziehe das x erst immer nach dem kürzen vor den limes. Entschuldigung falls es für Verwirrung gesorgt hat. smile

smile

Viele Grüße, hangman Wink

Wink

Was weiterhin falsch wäre.

Schau dir hier die Potenzreihen nochmals an:
http://de.wikipedia.org/wiki/Potenzreihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n. \end{eqnarray*}$
Das $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ hat mit dem x nix am Hut.

@Crazy:
Ich persönlich würde hier geschwind wie der Wind die 2 rausholen:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n} * (2x)^n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n} * (x)^n \end{eqnarray*}$

Dann habe ich mein $\begin{eqnarray*} a_n= \frac{2^n}{n} \end{eqnarray*}$ .
Dann kannst du tatsächlich das Quotientenkriterium verwenden. Aber richtig^^.
$\begin{eqnarray*} r=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=... \end{eqnarray*}$

Wink

Wink

31.07.2012, 11:38

Cheftheoretiker

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Ok, dann werde ich demnächst das $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ direkt außen vor lassen das es auch keine Missverständnisse mehr gibt. smile

smile

Wobei das Ergebnis natürlich das selbe wäre.

Viele Grüße, hangman Wink

Wink

31.07.2012, 11:45

Equester

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Zitat:

Original von hangman

Wobei das Ergebnis natürlich das selbe wäre.

Was leider nicht stimmt unglücklich

unglücklich

.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\left|\frac{2^n\cdot x^n}{n}:\frac{2^{n+1}\cdot x^{n+1}}{n+1}\right| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac1x\lim_{n\to\infty} \text{A} \end{eqnarray*}$

Das würdest du erhalten. Wobei A, das gekürzte ist (was auch richtig ist, ich aber
Crazy nicht alles vorwegnehmen will Augenzwinkern

Augenzwinkern

); dein x ist aber weiterhin fehlplatziert, hangman!

31.07.2012, 11:49

Cheftheoretiker

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Ich verstehe schon was ihr meint, dass es nicht korrekt ist das ich das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ in dem $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ mitverarbeite. Wenn ich aber das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nach dem kürzen nicht weiter beachte und es einfach rausziehe erhalte ich doch den gleichen Konvergenzradius als wenn ich das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ von vornherein nicht mit reingeschrieben hätte. Das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ ist dabei auch egal.

In Zukunft werde ich das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ einfach nicht mit in $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ packen.

Gruß, hangman Wink

Wink

31.07.2012, 11:55

Equester

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Du meiner Treu, was ist denn das für eine Aussage geschockt

geschockt

(verzeih mir die Wortwahl, aber
mein Mund steht offen).

D.h. wenn ich haben will $\begin{eqnarray*} 5+2=7 \end{eqnarray*}$ und ich aber schreibe $\begin{eqnarray*} 5+2=7\cdot\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ , dann
muss ich halt einfach das 1/x ignorieren? geschockt

geschockt

Das wäre ja DER Joker für jeden Prüfling der Mathematik Gott

Gott

.

31.07.2012, 11:58

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sage ja nicht das es mathematisch korrekt sei. Dennoch erhält man den gleichen Konvergenzradius. Ich werde das in Zukunft berücksichtigen.

31.07.2012, 12:08

Equester

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Zitat:

Original von hangman
Dennoch erhält man den gleichen Konvergenzradius.

Genau, wenn man $\begin{eqnarray*} \frac1x \end{eqnarray*}$ ignoriert, was...ums jetzt wirklich deutlich zu sagen...Schwachsinn ist.

31.07.2012, 12:26

Che Netzer

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Naja, wenn man mit $\begin{eqnarray*} 1\overset!<\lim_{n\to\infty}\left\lvert\tfrac{a_n}{a_{n+1}}\right\rvert \end{eqnarray*}$ ansetzt, geht das mit hangmans Methode Big Laugh

Big Laugh

31.07.2012, 22:31

Crazy007

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Hallo leute ich hab zuerst einmal ein verständnisproblem .

Warum bleibt nach den dem Kehrwert nur noch 1/x stehen?

31.07.2012, 22:41

Equester

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Die 1/x haben hier nichts zu suchen. Also bei der Bestimmung des Konvergenzradius Augenzwinkern

Augenzwinkern

.
Lass dich da nicht verwirren.

31.07.2012, 23:37

Crazy007

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie rechne ich denn genau den Mehrwert mit dem potenzen aus?

31.07.2012, 23:40

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Was verstehst du unter "Mehrwert"?
Wenn du den Konvergenzradius haben willst, dann starte wie um 11:35Uhr beschrieben Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

31.07.2012, 23:45

Crazy007

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meine den Kehrwert.

31.07.2012, 23:48

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Aso :P.

Schreib mir mal hin, was du bisher hast Augenzwinkern

Augenzwinkern

.
Kehrwert war ja nur den Bruch "umzudrehen" und das Divisionszeichen durch nen Malpunkt zu ersetzen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

01.08.2012, 00:15

Crazy007

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Equester

Zitat:

Original von hangman

Wobei das Ergebnis natürlich das selbe wäre.

Was leider nicht stimmt unglücklich

unglücklich

.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\left|\frac{2^n\cdot x^n}{n}:\frac{2^{n+1}\cdot x^{n+1}}{n+1}\right| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac1x\lim_{n\to\infty} \text{A} \end{eqnarray*}$

Das würdest du erhalten. Wobei A, das gekürzte ist (was auch richtig ist, ich aber
Crazy nicht alles vorwegnehmen will Augenzwinkern

Augenzwinkern

); dein x ist aber weiterhin fehlplatziert, hangman!

Bis hiehin habe ich es auch , aber ich weiss nicht wie ich diesen Quotienten ausmultiplizeren soll.

Was mache ich da mit den exponenten genau.

Oder lohn es sich überhaupt das auszumultiplizieren?

01.08.2012, 00:34

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist doch falsch.

Wir haben doch ein $\begin{eqnarray*} a_n= \frac{2^n}{n} \end{eqnarray*}$ .

Das Quotientenkriterium:
$\begin{eqnarray*} r=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=... \end{eqnarray*}$

Schreibe das sauber hin. Wenn ein x dabei ist, ists falsch :P.

Für den Kehrwert gilt folgendes:

$\begin{eqnarray*} a:\frac{c}{b}=a\cdot\frac{b}{c} \end{eqnarray*}$

(Bin jetzt aber im Bett)

01.08.2012, 01:30

Crazy007

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich poste mal meine rechnung :

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{2^n }{n} * \frac{n+1}{2^{n+1}} \end{eqnarray*}$

Kann ich eigentlich sagen das das hier :
$\begin{eqnarray*} \frac{2^n }{n} \end{eqnarray*}$ gegen 0 geht und das damit wegfällt?

Edit Equester: Latex ausgebessert.

01.08.2012, 07:33

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, ganz so einfach ists nicht^^. Was du aber machen kannst, ist die Potenzgesetze
anzuwenden, und die 2er Potenzen zu kürzen.
Für n und n+1 kannst du dann letztlich sagen, dass die für n gegen unendlich etwa
gleichgroß sind...und ebenfalls kürzen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

01.08.2012, 11:04

Crazy007

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann müsste nur noch die 2 übrig bleiben ,ist es richtig?

Aber warum kann ich das n mit dem n+1 kürzen?

Kannst du mir das bitte genauer erklären?

01.08.2012, 11:06

Crazy007

Auf diesen Beitrag antworten »

Tschuldigung 2 ist glaub ich falsch , der lim müsste dann gegen 1/2 gehen.

01.08.2012, 11:27

shipwater

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ist richtig. Nach dem Potenzgesetz $\begin{eqnarray*} x^m \cdot x^n=x^{m+n} \end{eqnarray*}$ gilt nämlich $\begin{eqnarray*} 2^{n+1}=2^n \cdot 2 \end{eqnarray*}$ . Nachdem du dann $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ kürzt bleibt $\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{2n} \end{eqnarray*}$ übrig.
Eine Alternative zum "Quotientenkriterium" wäre hier die Formel von Cauchy-Hadamard. Demnach würde gelten:
$\begin{eqnarray*} R=\frac{1}{\limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}=\frac{1}{\limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{2^n}{n}}}=\frac{1}{\limsup\limits_{n \to \infty} \frac{2}{\sqrt[n]{n}}}=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Gruß Shipwater

01.08.2012, 11:46

Crazy007

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo shipwater, kannst du mir aber erklären warum man das n mit dem n+1 kürzen kann . Das ist mir nicht so ganz klar.

01.08.2012, 11:48

Crazy007

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Crazy007

Zitat:

Original von Equester

Zitat:

Original von hangman

Wobei das Ergebnis natürlich das selbe wäre.

Was leider nicht stimmt unglücklich

unglücklich

.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\left|\frac{2^n\cdot x^n}{n}:\frac{2^{n+1}\cdot x^{n+1}}{n+1}\right| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac1x\lim_{n\to\infty} \text{A} \end{eqnarray*}$

Das würdest du erhalten. Wobei A, das gekürzte ist (was auch richtig ist, ich aber
Crazy nicht alles vorwegnehmen will Augenzwinkern

Augenzwinkern

); dein x ist aber weiterhin fehlplatziert, hangman!

Bis hiehin habe ich es auch , aber ich weiss nicht wie ich diesen Quotienten ausmultiplizeren soll.

Was mache ich da mit den exponenten genau.

Oder lohn es sich überhaupt das auszumultiplizieren?

Und ich habe hier auch noch nicht so ganz verstanden , warum es hier kein x mehr geben soll?

Das ist mir nicht so richtig klar.

01.08.2012, 12:06

shipwater

Auf diesen Beitrag antworten »

Na dann lies dich doch erstmal ein: Konvergenzradius

01.08.2012, 12:53

Crazy007

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Crazy007
Hallo shipwater, kannst du mir aber erklären warum man das n mit dem n+1 kürzen kann . Das ist mir nicht so ganz klar.

Ah ok x^n ist gleich 1 daher ok. Danke shipwater .

Aber diese Frage muss mir noch noch bitte jemand beantworten:

Hallo shipwater, kannst du mir aber erklären warum man das n mit dem n+1 kürzen kann .

01.08.2012, 17:25

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Crazy007
Ah ok x^n ist gleich 1 daher ok.

Ist es nicht Oo.
Der Konvergenzradius von $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty x^n \end{eqnarray*}$ ist vllt 1. Das hat
aber nichts mit x^n zu tun!

Bei der Bestimmung des Konvergenzradius interessiert uns nicht, was mit dem x
los ist. Ignoriere das was hangman da gesagt hat. Das ist falsch.
Beim Konvergenzradius konzentrieren wir uns alleine auf den anderen Faktor!
(Obiges gilt nur bei der Form
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n \end{eqnarray*}$ )

Das haben wir ja mittlerweile mit dem Quotientenkriterium geklärt?!

Warum du (n+1)/n kürzen darfst? So wies hier gerade dasteht, eigentlich nicht.
Für z.B. n=3 hätten wir 4/3~1,333... Das ist doch noch recht weit entfernt von 1.
Wenn wir aber ein größeres n wählen (z.B. n=1000) haben wir eine Wert der doch
ziemlich nahe bei 1 liegt (1,001 für n=1000). Wenn wir nun n gegen unendlich
streben lassen, spielt die +1 eine noch geringere Rolle als sie das im kleinen Zahlenbereich
tut. Wir können die +1 also getrost ignorieren.
Anschaulich nun klar? Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.08.2012, 18:40

Crazy007

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Aber warum verschwindet dann das x^n?

01.08.2012, 19:36

Equester

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Für den Konvergenzradius r gilt, dass |x-x0|<r sein muss, wobei r sich nach
Cauchy-Hadamard aus $\begin{eqnarray*} r=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|a_n|}\right)} \end{eqnarray*}$ ergibt.
Oder eben durch unser Quotientenkriterium.

Siehe auch nochmals hier: Klick mich

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