Geometrien durch Kreise annähern

01.08.2012, 00:40	Ilpalazzo	Auf diesen Beitrag antworten »
Geometrien durch Kreise annähern Hallo, Mathe-Liebhaber! Wir alle kennen die Kreisgleichung: $\begin{eqnarray} x^2+y^2=r^2 \end{eqnarray}$ Wenn man etwas mit den Exponenten rumspielt und gegen unendlich laufen lässt $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty}x^{2n}+y^{2n}=\lim_{n\to\infty}r^{2n} \end{eqnarray}$ (1) dann erhält man ein Quadrat (bspw. für n=20). Meine erste Frage lautet nun, ob eine ähnliche Annäherung für ein Dreieck möglich ist. Also, dass man für $\begin{eqnarray} n = 1 \end{eqnarray}$ ein Kreis hat und für $\begin{eqnarray} n\to\infty \end{eqnarray}$ ein Dreieck. Über eine einzige implizite Gleichung. Ich habe schon darüber nachgedacht und bin zum Entschluss gekommen, dass es einen Weg gibt, aber die implizite Darstellung nicht so einfach sein wird. In Parameterdarstellung könnte man über unendliche Reihen und aufeinanderrollenden Kreisen beliebige Geometrien darstellen (bspw. wieder ein Quadrat). So könnte man auch ein Dreieck zeichnen und versuchen, die Parameterdarstellung in eine implizite Gleichung umzuwandeln. Daher lautet meine zweite Frage: Ist es möglich die Gleichung (1) in eine Parameterdarstellung zu bringen, wobei für x und y Reihenausdrücke entstehen? Eine allerletzte und dritte Frage wäre, ob ein Verfahren existiert, wobei implizite Geometrien über Kreise angenähert werden. Für explizite Gleichungen kennt man bspw. die Fourier-Reihen. Ich bin auf der Suche nach etwas Ähnlichem. Wie heißt dieses Themengebiet? Über eine Google-Suche bin ich auf tropische Geometrien gestoßen, aber ich glaube davon bin ich weit entfernt. Wenn ein Verfahren existiert könnte man beliebige Geometrien über implizite Gleichungen darstellen (man denke bspw. an Zhukovski-Transformation). Ich bin kein Mathematiker, deswegen kenne ich mich in diesem Gebiet gar nicht aus. Ich danke jedem, der bereit ist mich zu erleuchten.
02.08.2012, 01:42	Ilpalazzo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geometrien durch Kreise annähern Hallo nochmal! Nach langem überlegen, habe ich eine Idee bekommen, womit ich die dritte Frage beantworten kann. Hat man bspw. irgendeine willkürlich gewählte Geometrie so kann man einfach die Parameterdarstellung $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r(\varphi)\cdot \cos\varphi\\ r(\varphi)\cdot\sin\varphi\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ aufstellen, um diese zu beschreiben. Möchte man eine Reihendarstellung, kann man einfach die Fourier-Reihe für $\begin{eqnarray} r(\varphi) \end{eqnarray}$ aufstellen. Vielleicht kann man dies irgendwie in eine implizite Gleichung umformen (beim Quadrat und beim gleichseitigen Dreieck). Und vielleicht kann man daraus irgendwie aufeinander rollende Kreise interpretieren, aber dazu reichen meine Kenntnisse nicht. Ist das Problem eigentlich trivial gewesen oder versteht niemand, was ich möchte?
02.08.2012, 07:01	Ilpalazzo	Auf diesen Beitrag antworten »
Die erste Frage habe ich auch selbstständig beantworten können. $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty}{ \left(\frac{x}{\frac{1}{n}+\left(1-\frac{1}{n}\right)(r-y)}\right)^{2n}+y^{2n}=\lim_{n\to\infty}r^{2n} } \end{eqnarray}$ Bei der zweiten Frage benötige ich aber Hilfe.
02.08.2012, 10:13	zyko	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, schau mal unter http://de.wikipedia.org/wiki/Konforme_Abbildung. Es gibt in der Funktionentheorie (komplexe Zahlen) die Möglichkeit ein beliebiges Polygon auf einen Kreis abzubilden. Die allg. Formeln habe ich leider nicht parat. mfg. zyko
02.08.2012, 20:29	Ilpalazzo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich werde mir konforme Abbildungen mal näher anschauen. Aber dort ist es auch nur reines Ausprobieren. Ein allgemeines Verfahren existiert nicht, oder? Zur zweiten Frage von mir. Ich hatte einen elementaren Denkfehler. Ich bin davon ausgegangen, dass wenn die Grenzwerte gleich sind, eine Umformung auf jeden Fall möglich ist. Dem ist nicht so. Ein einfaches (schlechtes) Beispiel: $\begin{eqnarray} \lim_{x\to 1}x^2 = \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} \end{eqnarray}$ Eine Umformung von links nach rechts geht aber nicht. Deswegen muss beim Quadrat eine Umformung in Parameterdarstellung nicht unbedingt möglich sein. Naja... Danke, dass ich hier meine Gedanken aufschreiben konnte. Vielleicht ist das alles absurd, womit ich mich beschäftigt habe. Man hat ab und zu so einen Gedanken, will wissen warum und wieso und steigert sich einfach mal darein. Ich habe hier viel im Forum gelesen. Was einige hier drauf haben, ist wirklich ungeheuerlich! Macht weiter so! Bis dann!

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