Existenz von uneigentlichen Integralen

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Yu Auf diesen Beitrag antworten »
Existenz von uneigentlichen Integralen
Ich habe die Funktionschar:



Ich soll nun das uneigentliche Integral auf Existenz untersuchen und das Ergebnis anhand des Graphen von (den ich in den vorigen Aufgaben brauchte) deuten.



Meine Frage ist, wie man uneigentliche Integrale auf Existenz überprüft. Hab sowas noch nie gemacht. Gibts da also irgendeine Regel?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Am besten erst einmal alles drumherum ignorieren und das Integral ausrechnen.
Dann machst Du Dir Gedanken für welche a diese Rechnung an ihre Grenzen stoßen könnte.
Yu Auf diesen Beitrag antworten »

Also ausgerechnet ist das Integral:



Aber ich weiß trotzdem nicht weiter, denn einsetzen kann ich ja nicht.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist eine Stammfunktion, aber nicht das Integral. Du musst schon die Grenzen berücksichtigen.
Yu Auf diesen Beitrag antworten »

Naja aber ausrechnen kann ich das Integral nicht wirklich, da es ja für x=0 nicht definiert ist.
Das Integral muss also einen Grenzwert besitzen bei dem die untere Grenze gegen 0 konvergiert.
Ich könnte jetzt Testeinsetzung machen. Ich weiß aber nicht ob das ein legitimes Verfahren ist.

Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Sieht soweit ganz gut aus und nun mach Dir Gedanken über den Grenzwert:
Wann existiert er (und somit auch das Integral)?
 
 
Yu Auf diesen Beitrag antworten »

Danke erstmal für die Rückmeldung Big Laugh

Ich hätte jetzt so weiter gemacht:



Und nun hätte ich ausgeklammert, soadass ich b=0 einsetzen kann. (ich lass die Betragsstriche jetzt weg, da a in der Aufgabe sowieso >0 ist):



Heißt das jetzt, das uneigentliche Integral existiert und die ("unendliche") Fläche unter dem Graph von 0 bis 1 konvergiert gegen die Zahl

???
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Yu
Und nun hätte ich ausgeklammert


Autsch...Seit wann lassen sich Funktionen ausklammern? Ist z.B. ?

Du musst schon die Logarithmengesetze anwenden. Ausklammern kannst Du nur Faktoren.
Yu Auf diesen Beitrag antworten »

Oooooh jetzt wirds peinlich Big Laugh

ich mach nochmal
Yu Auf diesen Beitrag antworten »

Also:



Wie bilde ich hier den Grenzwert?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Aufgrund der Stetigkeit des ln kannst Du das auch so schreiben:




Kriegst Du es nun hin?
Yu Auf diesen Beitrag antworten »

okay... also:





Also existiert kein Grenzwert und somit auch das uneigentlich Integral nicht?
Pik 7 Auf diesen Beitrag antworten »

Helferlein ist wohl gerade nicht zur Stelle ... deshalb will ich mal einen kleinen Hinweise geben.

Wie sieht das denn für a = -1 aus?

Und wie sieht das mit dem Vorzeichen aus, wenn etwa a = -2 ist.

Aber ansonsten ist das doch jetzt schon ganz ordentlich.
Yu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Yu
(ich lass die Betragsstriche jetzt weg, da a in der Aufgabe sowieso >0 ist):


Ich hätte vielleicht gleich oben erwähnen sollen, dass a>0 ist.
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