Inhomogenes System von Differentialgleichungen lösen

01.08.2012, 17:24	castor	Auf diesen Beitrag antworten »
Inhomogenes System von Differentialgleichungen lösen Meine Frage: Hallo, ich versuche mich gerade an folgender Aufgabe: $\begin{eqnarray} y'=\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 4 & 7 \end{pmatrix} y \end{eqnarray}$ Meine Ideen:* Also, zuerst mal hab ich die Determinante gebildet und die Eigenwerte gamma bestimmt: $\begin{eqnarray} y'=\begin{pmatrix} 3-\gamma & -2 \\ 4 & 7-\gamma \end{pmatrix} y \end{eqnarray}$ und bekomme für gamma: $\begin{eqnarray} \gamma 1,2= 5\pm 2i \end{eqnarray}$ damit kann ich jetzt die Eigenvektoren p berechnen: wenn ich in \begin{pmatrix} 3-\gamma & -2 \\ 4 & 7-\gamma \end{pmatrix} gamma 1 einsetze bekomme ich folgendes heraus: $\begin{eqnarray} (-2+2i)p1=2p2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p2=\frac{-2+2i}{2} p1 =(-1+i)p1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4p1+p2(2+2i)=4p1+(-2-2i+2i-1)p1=4p1-3p1=1p1=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p=\begin{pmatrix} -1+i \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Da muss schon mal ein Fehler drin sein Dann kann ich ja schreiben: $\begin{eqnarray} pe^{\gamma x} \end{eqnarray}$ und wenn ich da die Eigenwerte und Eigenvektoren einsetze hab ich: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1+i \\ 0 \end{pmatrix} e^{(5-2i)x}= \begin{pmatrix} -1+i \\ 0 \end{pmatrix} e^{5x}\left[cos2x-isin2x\right] \end{eqnarray*}$ und ab da weiß ich nimmer weiter. In der VO hat unser Prof gemeint hier müsse man nur einen Eigenwert nehmen und aus dem die Eigenvektoren berechnen (warum?) und dann in Imaginärteil und Realteil aufspalten. Warum?? Was soll überhaupt rauskommen? Wie lauten die Formeln die ich hier ganz konkret benutzen muss? Oh Gott....
01.08.2012, 17:39	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum betrachtest Du die Zweite Gleichung? Der Eigenraum muss doch mindestens eindimensional sein, also lautet die zweite Gleichung stets 0=0, was Du auch herausbekommen hättest, wenn Du keinen Rechenfehler eingebaut hättest: (-1+i)(2+2i)=-2-2i+2i+2i² Für die Bestimmung der Eigenvektoren reicht hier die erste Gleichung völlig aus.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »