Konvergenz

01.08.2012, 20:08

Dave21

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Konvergenz

Hallo hab gerade probleme den Konvergenzradius dieser Potenzreihe zu bestimmen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{(5n)^n} \end{eqnarray*}$

Ansatz: Quotientenkriterium:

$\begin{eqnarray*} \frac{5^{n+1} *(n+1)^{n+1}}{5^n* n^n} <br /> <br /> = \frac{5*(n+1)^{n+1}}{n^n} \end{eqnarray*}$

Weiter komme ich nicht

Edit Equester: Hab mal Latex korrigiert smile

smile

.

01.08.2012, 20:29

shipwater

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Hallo,

benutze $\begin{eqnarray*} (n+1)^{n+1}=(n+1)^n (n+1) \end{eqnarray*}$ und fasse dann $\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^n}{n^n} \end{eqnarray*}$ zusammen. Gegen was dieser Ausdruck strebt sollte dann bekannt sein.

Gruß Shipwater

01.08.2012, 20:35

Dave21

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Dann hatte ich das stehen:

5*1^n *(n+1) ist es so richtig?

01.08.2012, 20:39

shipwater

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Nein, wie kommst du auf den Faktor $\begin{eqnarray*} 1^n \end{eqnarray*}$ ?

Gruß Shipwater

01.08.2012, 21:11

Dave21

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(n+1)^n = n^n +1^n und das n^n habe ich gekürzt. Oder hab ich was falsch gemacht?

01.08.2012, 22:06

Dave21

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Kann mir bitte jemand sagen was ich falsch gemacht habe

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01.08.2012, 22:07

shipwater

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Das ist sowas von falsch. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Schon mal was von den binomischen Formeln (bzw. dem binomischen Lehrsatz) gehört? Ich wollte eher darauf hinaus, dass du $\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^n}{n^n} \end{eqnarray*}$ mit dem Potenzgesetz $\begin{eqnarray*} \frac{x^n}{y^n}=\left(\frac{x}{y}\right)^n \end{eqnarray*}$ vereinfachst.

Gruß Shipwater

01.08.2012, 22:20

Dave21

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Dann wurde doch:

( 5*(n+1)/ n )^n gegen 0 gehen oder?

Und es bleibt (n+1) übrig .

01.08.2012, 22:22

shipwater

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Hä, keine Ahnung was du meinst.

01.08.2012, 22:32

Dave21

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$\begin{eqnarray*} ( \frac{5*(n+1)}{n} )^n *(n+1) \end{eqnarray*}$

Wie soll ich das den dann vereinfachen?

Ich bin überfragt?

01.08.2012, 22:38

shipwater

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Es muss $\begin{eqnarray*} 5 \cdot \left(\frac{n+1}{n}\right)^n \cdot (n+1) \end{eqnarray*}$ heißen. Das kannst du auch schreiben als $\begin{eqnarray*} 5 \cdot \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \cdot (n+1) \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$ ein sehr sehr bekannter Grenzwert ist, sollte der Rest nun keine Probleme mehr machen, oder?

Gruß Shipwater

01.08.2012, 23:00

Dave21

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Der lim würde dann glaub ich gegen 1 gehen und dann bleibt übrig?

Das hier oder:

5*(n+1)

Ich hoffe das ich keinen fehler gemacht habe.

01.08.2012, 23:03

shipwater

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Nein, schau doch mal hier. Es sollte aber klar sein, dass der gesamte Ausdruck bestimmt gegen $\begin{eqnarray*} + \infty \end{eqnarray*}$ divergiert.

Gruß Shipwater

PS: Mit der Formel von Cauchy-Hadamard würde das ganze hier schneller gehen.

01.08.2012, 23:25

Dave21

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Aber Was war jetzt bei meiner Rechnung falsch?

01.08.2012, 23:34

n3rdfr34k

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Zitat:

Original von Dave21
Der lim würde dann glaub ich gegen 1 gehen und dann bleibt übrig?

Das hier oder:

5*(n+1)

Ich hoffe das ich keinen fehler gemacht habe.

ansich ja korrekt, nur bist du damit noch nicht ganz fertig und du hast vergessen den Limes hier noch hinzuschreiben:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}5\cdot(n+1) = \lim_{x\to\infty} 5n+5 = 5 \cdot \lim_{x\to\infty} n +5 = 5\cdot \infty + 5 \mbox = \infty \end{eqnarray*}$ (wobei natürlich $\begin{eqnarray*} 5\cdot\infty + 5 \end{eqnarray*}$ mathematisch unkorrekt ist, aber vielleicht hilft es hier zum Verständnis...

01.08.2012, 23:37

Che Netzer

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Naja, eigentlich fehlt da noch ein Faktor (der angegebene Grenzwert ist nämlich nicht 1, siehe Link von shipwater). Es reicht aber schon die Abschätzung $\begin{eqnarray*} \left(1+\tfrac1n\right)^n\geq1 \end{eqnarray*}$ .

Und dann geht natürlich $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gegen Unendlich, nicht $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

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