Umkehrung des Satz von Lebesgue

02.08.2012, 14:08	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Umkehrung des Satz von Lebesgue Hallo zusammen, ich wollte fragen, ob jemand weiß wo ich die Umkehrung des Satzes finde. Offenbar gilt für eine Folge $\begin{eqnarray} f_k \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f_k \to f \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} L^p \end{eqnarray}$ , dass eine Teilfolge existiert, so dass f_k punktweise gegen f konvergiert (der Teil ist klar), und zusätzlich, dass eine weitere Teilfolge existiert, so dass eine punktweise Majorante g exisitiert mit $\begin{eqnarray} \|f_{n_k}\| \leq g \end{eqnarray}$ f.ü. Die Aussage wird implizit in einem Buch verwendet, und beim Suchen bin ich über das Übungsblatt gestolpert: http://www.uni-ulm.de/fileadmin/website_.../Blatt06sol.pdf Aufgabe 22: Erinnerung in bold-geschrieben. Leider finde ich unter "Umkehrung des Satz von Lebesgue" keine solidere Quelle als das eine Übungsblatt, wäre super, wenn jemand da mehr Ahnung hätte.
02.08.2012, 14:36	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, soweit ich mich erinnern kann ist dieses eine Folgerung des Beweises fur die Vollstandigkeit der L^p Raeume. Du solltest dir den Beweis genauer anschauen, dort wird eine solche Teilfolge explizit ueber eine Summe konstruiert. Die Idee dahinter ist es, eine Teilfolge so zu wahlen, dass der Normabstand zweier aufeinanderfolgender Glieder durch eine summierbare Folge beschraenkt ist. Mfg
02.08.2012, 15:40	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umkehrung des Satz von Lebesgue Hallo, Ich würde es so versuchen: Es reicht aus, $\begin{eqnarray} f\equiv 0 \end{eqnarray}$ zu betrachten. Wähle dann eine Folge $\begin{eqnarray} (f_{n_k})_k \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \lVert f_{n_k}\rVert\leq 2^{-k} \end{eqnarray}$ . Setze $\begin{eqnarray} g=\sum_{k=0}^\infty\lvert f_{n_k}\rvert \end{eqnarray}$ . (das Supremum über die Beträge dürfte auch gehen) Die Minkowski-Ungleichung (für unendlich viele Summanden) liefert jetzt die Integrierbarkeit von $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lvert f_{n_k}\rvert\leq g \end{eqnarray}$ ist auch klar. So, ich hoffe, ich habe mich nicht vertan und dass es in diesem Fall in Ordnung ist, eine Komplettlösung anzugeben. mfg, Ché Netzer
02.08.2012, 15:45	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umkehrung des Satz von Lebesgue Danke euch beiden. Mit dem Tipp von sergej88 bin ich gerade fertig geworden und hab das gleiche wie Che raus - wenn auch deutlich weniger elegant
02.08.2012, 18:42	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Tipp von Che, ist im Grunde auch ein Teil des Beweises, weswegen es im Grunde auf dasselbe hinnausläuft mfg

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