Matrixdarstellung bezüglich Basen

02.08.2012, 14:37

DQM

Matrixdarstellung bezüglich Basen

Hey nachdem mir vorhin hier schon so super geholfen wurde, dachte ich ich stell hier nochmal ne frage, die mich gerade beschäftigt.

ich hatte die aufgabe die Matrixdarstellung von R³->R²

Z( x; y; z)=(3z; x+4y) bezüglich der standardbasen
(1 0 0 ); (0 1 0) ; (0 0 1) und (1 0); (0 1) anzugeben

das hab ich relativ simpel gelöst, indem ich erst die basus vektoren vom R³ in Z eingesetzt habe: und dann die gleichungen die ich aus

Z(x)=Ax bekommen habe nach den koeffizienten der matrix umgestellt habe

-> A= 0 0 3
1 4 0

.. aber das scheint ja leider nur für die standard basen zu funktionieren, wie würdet ihr vorgehen wenn andere basen gegeben sind, .. weder meine unterlagen, noch google konnten mir bis jetzt ne antwort drauf geben

02.08.2012, 15:11

Ehos

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Angenommen du hast eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} \vec y=A\vec x \end{eqnarray*}$ , welche die Koordinatenvektoren $\begin{eqnarray*} \vec y, \vec x \end{eqnarray*}$ über eine Abbildungsmatrix A abbildet, wobei die Koordinatenvektoren bezüglich irgendwelcher Basen im Bild- bzw. Urbildraum gegeben seien, die nicht identisch sein müssen. Macht man in diesen beiden Räumen irgendwelche Koordinatentransformationen $\begin{eqnarray*} \vec y'=D\vec y \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \vec x'=D\vec x \end{eqnarray*}$ und ersetzt mit den umgestellten Gleichungen $\begin{eqnarray*} \vec y=D^{-1}\vec y' \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \vec x=C^{-1}\vec x' \end{eqnarray*}$ in der obigen Abbildungsgleichung die Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec y, \vec x \end{eqnarray*}$ , bekommt man die Gleichung $\begin{eqnarray*} D^{-1}\vec y'=AC^{-1}\vec x' \end{eqnarray*}$ . Wendet man darauf die Matrix D an, bekommt man die gesuchte transformierte Abbildungsgleichung bezüglich der neuen Koordinaten

$\begin{eqnarray*} \vec y'=\underbrace{DAC^{-1}}_{A'}\vec x' \end{eqnarray*}$

Hat man nicht die Transformationsmatrizen C, D für die Koordinaten gegeben, sondern die Transformationsmatrizen C', D' für die Basen, dann ist zu beachten, dass sich Koordinaten und Basen mit kontragriedienten Matrizen transformieren, also

$\begin{eqnarray*} C'=(C^{-1})^T \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} D'=(D^{-1})^T \end{eqnarray*}$

02.08.2012, 15:57

DQM

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hmm sorry das is mir leider irgendwie zu kryptisch..

also ich hab den Vektor x habe, dessen abbildung durch A den Vektor Y ergibt

aber woher kommen jetzt D und C?

und weiter was hat es mit x' & y' auf sich, sind das die abbildungen unter der neuen basis?

oder bekomme ich durch die gegebene abblidungsvorschrift erst y' und muss das dann auf die neue basis umrechnen?

sagen wir mal konkret ich soll die Abbildungs matrix bezüglich der basen (1 1 1) (1 1 0) (1 0 0) und (1 1) (-1 1) darstellen? wie müsste ich schrittweise vorgehen?

sorry für die umstände, aber ich befürchte anders kapier ichs nicht

03.08.2012, 06:59

klarsoweit

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RE: Matrixdarstellung bezüglich basen
Mir wäre es lieb, wir würden bei dieser Aufgabe bleiben:

Zitat:

Original von DQM
ich hatte die aufgabe die Matrixdarstellung von R³->R²

Z( x; y; z)=(3z; x+4y) bezüglich der standardbasen
(1 0 0 ); (0 1 0) ; (0 0 1) und (1 0); (0 1) anzugeben

sonst wird die Verwirrung nur noch größer.

Also der 1. Schritt ist ganz richtig, daß du die Bilder der Basisvektoren bestimmst. Z. B. haben wir also Z(1; 0; 0) = (0; 1) . Nun mußt du den Ergebnisvektor (0; 1) in der Basis des Bildraums, also in (1 0); (0 1), darstellen. Das ist in diesem Fall ganz einfach. Den resultierenden Koordinatenvektor trägst du als 1. Spalte in deine Abbildungsmatrix ein. Dasgleiche macht du dann analog mit den anderen Bildvektoren.

03.08.2012, 11:24

DQM

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AAh ok super also in der form

A= a b c
d e f

0 = 1a + 0d 1=0
1 = 0a + 1d -> d=1

etc

noch mal danke für die hilfe

03.08.2012, 12:41

klarsoweit

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Da ich jetzt aus deinem Beitrag nicht so ganz schlau werde, wäre es wohl besser, wenn du dein Ergebnis zur Kontrolle mal posten würdest.

03.08.2012, 17:36

DQM

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also ich hab eben die drei basis vektoren 1 0 0 ; 0 1 0 ; 0 0 1
in die abbildungs vorschrift eingesetzt ( 3z ; x+4y)

und hab dann die vektoren (0 ; 1) (0 ; 4) ( 3 ; 0) rausbekommen

dann hab ich die jeweils gleichgesetzt mit

vielfachen der neuen basen

0 = a* 1 d 0
1 = a* 0 + d* 1 btzw

0 = b 1 e* 0
4 = b* 0 + e* 1

3 = c* 1 f* 0
0 = c* 0 + f* 1

und hab die dann aufgelöst und die ergebnisse in ne matrix eingetragen

0 0 3
1 4 0

ich hab mir zur veranschaulichung einfach aufgeschrieben wo welche variable in der matrix hinmuss, und weil das schreiben von x1, x2 etc hier etwas umständlich war hab ich a , b, c ... genommen

06.08.2012, 07:18

klarsoweit

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Vom Ergebnis ist es ok, aber zwischendrin fehlen ein paar Additions- und Multiplikationszeichen, was die Lesbarkeit dann doch etwas einschränkt.

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