Potenzreihe(konvergenzradius)

02.08.2012, 17:03

user007

Auf diesen Beitrag antworten »

Potenzreihe(konvergenzradius)

Meine Frage:
Hallo alle zusammen ich habe eine frage zu einer Aufgabe:

Bestimmen Sie alle x Element R, für welche die folgenden Potenzreihen konvergieren:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{3n^7 *x^n}{2n!} \end{eqnarray*}$

Habs mit dem Quotientenkriterium versucht weiss aber nicht ob es richtig ist:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{3n^7 *x^n}{2n!} * \frac{2*(n+1!)}{3*(n+1)^7* x^(n+1)} \end{eqnarray*}$

Weiter weiss ich nicht mehr.

Meine Ideen:
keine

Edit Equester: Latex korrigiert.

02.08.2012, 17:11

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Potenzreihe(konvergenzradius)
Hallo,

Zitat:

Original von user007
$\begin{eqnarray*} <br /> \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{3n^7 *x^n}{2n!} * \frac{2*(n+1!)}{3*(n+1)^7* x^(n+1)} \end{eqnarray*}$

Was bitte ist das denn? geschockt

geschockt

Das Stichwort Konvergenzradius sagt dir anscheinend etwas, wieso versuchst du es dann nicht mit $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\left\lvert\frac{a_n}{a_{n+1}}\right\rvert \end{eqnarray*}$ ?
Die Terme mit $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ haben darin nichts zu suchen.
Stelle also erstmal diesen Bruch vernünftig auf.

mfg,
Ché Netzer

02.08.2012, 17:25

user007

Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich habe ich das ja mit dieser formel aufgeschrieben , das ist ja nur der Kehrwert. Ich glaub es wurde ein wenig falsch dargestellt mit dem formeleditior.

So?

( 3n^7 *x^n) / ( 2n!) * (2*n+1!) / (3*(n+1))

Soll ich jetzt das x weglassn oder wie ?

Wenn ja warum?

02.08.2012, 17:38

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

1. Die Klammersetzung stimmt nicht
2. Ganz am Ende fehlt ein ^7
3. Warum ist da jetzt ein $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ und sonst aber nichts mit $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ?

Und zu den Koeffizienten zählen die Potenzen von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gar nicht dazu.
$\begin{eqnarray*} a_n=\tfrac{3n^7}{2n!} \end{eqnarray*}$ .
Also brauchst du auch kein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ bei der Bestimmung des Konvergenzradius.

Versuche also nochmal, $\begin{eqnarray*} \tfrac{a_n}{a_{n+1}} \end{eqnarray*}$ korrekt aufzuschreiben.
Entweder mit $\begin{eqnarray*} \text{\LaTeX} \end{eqnarray*}$ oder mit korrekter Klammersetzung.

02.08.2012, 18:01

user007

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Che Netzer
1. Die Klammersetzung stimmt nicht
2. Ganz am Ende fehlt ein ^7
3. Warum ist da jetzt ein $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ und sonst aber nichts mit $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ?

Und zu den Koeffizienten zählen die Potenzen von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gar nicht dazu.
$\begin{eqnarray*} a_n=\tfrac{3n^7}{2n!} \end{eqnarray*}$ .
Also brauchst du auch kein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ bei der Bestimmung des Konvergenzradius.

Versuche also nochmal, $\begin{eqnarray*} \tfrac{a_n}{a_{n+1}} \end{eqnarray*}$ korrekt aufzuschreiben.
Entweder mit $\begin{eqnarray*} \text{\LaTeX} \end{eqnarray*}$ oder mit korrekter Klammersetzung.

So müsste es jetzt stimmen:

$\begin{eqnarray*} \frac{3n^7}{2n!} * \frac{2*(n+1!)}{3*(n+1)^7} \end{eqnarray*}$

Aber wie gehe ich jetzt weiter vor?

Ich brauch noch bitte paar tips von dir.

02.08.2012, 18:05

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Du könntest zunächst einmal kürzen:
Die Konstanten und einen Teil der Fakultäten.
Danach kannst du die verbliebenen Potenzen zusammenfassen, (wieder kürzen) und Grenzwertsätze anwenden.

Anzeige

02.08.2012, 18:17

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Als Anmerkung, es heißt $\begin{eqnarray*} (n+1)! \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} n+1! \end{eqnarray*}$

Gruß smile

smile

02.08.2012, 18:19

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, danke, da ist mir beim Lesen die verrutschte Klammer nicht aufgefallen smile

smile

02.08.2012, 18:24

user007

Auf diesen Beitrag antworten »

tut mir leid che netzer wenn die frage blöd klingt , aber was passiert wenn man

(n+1)! mit n+1 kürzt ? Bleibt da nur noch n! übrig ?

Kenn mich leider nicht so gut mit Fakultäten aus.

02.08.2012, 19:04

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

So solltest du gar nicht kürzen.
Kürze lieber $\begin{eqnarray*} (n+1)! \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n! \end{eqnarray*}$ . Die Potenzen kannst du so stehen lassen, dann dürfte es schneller gehen.

02.08.2012, 19:35

user007

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann hatte ich doch 6n^7/ 6*(n+1)^7 stehen . Was kann ich jetzt machen?

02.08.2012, 19:49

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Die 6 herauskürzen und die Potenzen zusammenfassen.
Außerdem könntest du die Fakultäten nochmal richtig kürzen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Überlege dir, was $\begin{eqnarray*} \tfrac{(n+1)!}{n!} \end{eqnarray*}$ ist.

02.08.2012, 19:52

user007

Auf diesen Beitrag antworten »

Was habe ich den beim kurzen falsch gemacht?

02.08.2012, 19:55

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast einen Faktor vergessen.
- Wieviele Faktoren hat $\begin{eqnarray*} (n+1)! \end{eqnarray*}$ ?
- Wieviele Faktoren hat $\begin{eqnarray*} n! \end{eqnarray*}$ ?

02.08.2012, 20:04

user007

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin ehrlich ich weiß es nicht?

02.08.2012, 20:25

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann schlag doch die Definition der Fakultät nach. Es würde dir nichts bringen, wenn ich dir das alles verraten würde.

02.08.2012, 20:46

user007

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ich hab jetzt meinen Fehler:
n^7/ (n+1)^6 musste es richtig lauten. Kann ich jetzt sagen das der Bruch für lim n gegen unendlich gegen 0 geht?

02.08.2012, 21:14

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Na gut, so geht es auch.
Aber wie bitteschön kommst du auf die Idee, dass das gegen 0 gehen sollte?
Das ist 1. falsch und 2. hast du keinerlei Begründung dazu geliefert.

02.08.2012, 23:00

user007

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab lange überlegt aber ich komme jetzt nicht drauf .

Kann ich diesen Bruch: n^7/ (n+1)^6 irgendwie noch vereinfachen ?

02.08.2012, 23:07

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Benutze $\begin{eqnarray*} n^7=n\cdot n^6 \end{eqnarray*}$ und fasse die Potenzen (aus Zähler und Nenner) zusammen.

02.08.2012, 23:13

user007

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von user007
Ich hab lange überlegt aber ich komme jetzt nicht drauf .

Kann ich diesen Bruch: n^7/ (n+1)^6 irgendwie noch vereinfachen ?

(n^6*n)/ ( n^6+1^6 ) = n/ 1^6

Leider habe ich jetzt wieder probleme mit dem weiteren vorgehen.

02.08.2012, 23:16

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Erkläre mir bitte, was du da anwendest? Benutzt du $\begin{eqnarray*} (n+1)^6=n^6+1^6 \end{eqnarray*}$ ? Und kürzt du dann einen Summanden mit einem Faktor.
Das ist leider beides Unsinn.

Mit dem Zusammenfassen der Potenzen meinte ich die Formel $\begin{eqnarray*} \frac{a^x}{b^x}=\left(\frac ab\right)^x \end{eqnarray*}$ .

02.08.2012, 23:33

user007

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok ich versuchs nochmal :

n* ( n/ n+1 )^6 = n * ( n/n + n/1 )^6 = n* ( n/1 )^6

= n* n^6 = unendlich

So richtig?

02.08.2012, 23:41

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

1. Nein, du hast falsch gekürzt:
$\begin{eqnarray*} \frac n{n+1}\neq\frac nn+\frac1n \end{eqnarray*}$ (!)
Sonst wäre ja $\begin{eqnarray*} \frac12=\frac1{1+1}=\frac11+\frac11=1+1=2 \end{eqnarray*}$ . Und das glaubst du sicher auch nicht, oder? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Kürze stattdessen mit $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , indem du alle Summanden in Zähler und Nenner durch $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ teilst.

2. "n* n^6 = unendlich" ist auch Unsinn. Dieser Term IST nicht Unendlich, er "geht" (bzw. divergiert) gegen Unendlich.
EDIT: Mathematisch mit $\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ auszudrücken.

02.08.2012, 23:50

user007

Auf diesen Beitrag antworten »

n* ( n/ n+1 )^6

Aber wie mache ich es dann ? Jetzt bin ich verzweifelt

03.08.2012, 00:01

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Ach ja, dass die Klammersetzung falsch ist, scheine ich inzwischen gar nicht mehr zu bemerken.

Hier nochmal dein Bruch:
$\begin{eqnarray*} \frac n{n+1} \end{eqnarray*}$ .
Jetzt kürze mit $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Das bedeutet, du teilst den Zähler durch $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und den Nenner teilst du auch durch $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

03.08.2012, 00:05

user007

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube ich habs:

n* ( n/ n+1 )^6 = n*( 1+ n/1) ^6

Also: n* ( 1 + n^6/1

03.08.2012, 00:11

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Das habe ich dir zwei Beiträge zuvor schon ausreden wollen.
Du spaltest den Bruch auf, indem du die Summe aus dem Nenner auseinanderziehst. Das geht aber nicht, siehe mein Gegenbeispiel mit $\begin{eqnarray*} \tfrac12=\dots=2 \end{eqnarray*}$ .
Außerdem kannst du die Potenz nicht auf die Summanden verteilen.

Wie gesagt: Teile Zähler und Nenner durch $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , behalte ansonsten Zähler und Nenner aber bei.

03.08.2012, 00:16

user007

Auf diesen Beitrag antworten »

n* ( n/ n+1 )^6

Ok was soll ich jetzt genau machen . Tut mir leid ich bin überfragt.

03.08.2012, 00:19

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Du betrachtest zunächst nur den folgenden Bruch:
$\begin{eqnarray*} \frac n{n+1} \end{eqnarray*}$ .
Du erkennst sicher, dass dieser so auch in dem Term vorkommt, dessen Grenzwert wir bestimmen möchten. (wenn man die Klammern richtig setzen würde)

In diesem Bruch teilst du jetzt den Zähler durch $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und den Nenner ebenso durch $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ - du kürzt also. Den neuen Zähler und den neuen Nenner schreibst du dann wieder als Bruch, der ist dann noch gleich dem vorigen, sieht aber anders aus.

03.08.2012, 00:24

user007

Auf diesen Beitrag antworten »

Aha ich glaube du meinst es so :

(n/n)/ n/n +1/n gekürzt=( 1) / (1+1/n) = 1

03.08.2012, 00:31

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von user007
(n/n)/ n/n +1/n gekürzt=( 1) / (1+1/n)

Bis hierhin ist alles in Ordnung (nur die Klammersetzung ist mal wieder falsch), der Term ist dann aber nicht gleich 1, sondern konvergiert nur gegen 1.
Jetzt haben wir den Grenzwert also auf den von
$\begin{eqnarray*} n\left(\frac1{1+\tfrac1n}\right)^6 \end{eqnarray*}$
zurückgeführt. Du hast schon richtig erkannt, wogegen der rechte konvergiert.
Was lässt sich also insgesamt über den Grenzwert aussagen?

03.08.2012, 00:34

user007

Auf diesen Beitrag antworten »

Insgesamt wäre das ja :

1n wenn man da den lim n gegen unendlich nimmt , dann unendlich oder?

03.08.2012, 00:45

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, Unendlich kommt heraus, das ist richtig.

Was kann man dann also darüber aussagen, für welche $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ die Reihe konvergiert?

03.08.2012, 00:48

user007

Auf diesen Beitrag antworten »

Das müsste 1 sein oder?

03.08.2012, 00:52

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommst du darauf?

03.08.2012, 00:59

user007

Auf diesen Beitrag antworten »

Oder ist es einfach 1n ?

Ich bin mir nicht sicher.

03.08.2012, 01:04

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Wovon redest du denn?

Wir haben inzwischen gezeigt, dass
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\left\lvert\frac{a_n}{a_{n+1}}\right\rvert=\infty \end{eqnarray*}$ .
Jetzt müssen wir noch die $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ bestimmen, für die die Reihe demnach konvergiert.

03.08.2012, 01:12

user007

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja aber wie bestimme ich das x.

03.08.2012, 01:18

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Den Konvergenzradius haben wir ja jetzt, oder?
Und für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , die innerhalb dieses Konvergenzradius um den Mittelpunkt (hier ist es 0) liegen, konvergiert die Reihe.

12 nächste Seite »

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »