Gleichmäßige Konvergenz n^2x^2/(1+n^2x^2)

02.08.2012, 21:12	chris95	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichmäßige Konvergenz n^2x^2/(1+n^2x^2) Meine Frage: Noch ne bloede Frage: Wir hatten in der Uebung, dass fuer x aus (-1,1) die Fkt: $\begin{eqnarray} f_n(x) = \frac{n^2 x^2}{1+n^2 x^2} \end{eqnarray}$ gleichmaessig konvergiert, die Grenzfkt sollte ja 1 sein. Meine Ideen: Wenn ich aber $\begin{eqnarray} x=\frac{1}{n} \end{eqnarray}$ waehle, dann ist ja: $\begin{eqnarray} f_n(1/n) - f(1/n)= \frac 1 2 \ne 0 \end{eqnarray}$ Also nicht gleichmaessig. Wer hat recht?
02.08.2012, 21:21	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gleichmaessig konvergez n^2x^2/(1+n^2x^2) Hallo, da würde ich auch widersprechen, am besten geht das aber mit $\begin{eqnarray} f_n(0)=0\neq1 \end{eqnarray}$ . D.h. die Grenzfunktion ist unstetig. mfg, Ché Netzer
02.08.2012, 21:54	chris95	Auf diesen Beitrag antworten »
Da hab ich so wie so noch ne frage, warum ist die grenzfkt unstetig? Wenn ich zuerst den Limes einsetze und dann der Werteinsetze, dann bekomme ich als Grenzfunktion f(x) =1 heraus. Wenn ich zuerst einsetze und dann den Limesbilde, dann bekomme ich f(x) =0 fuer x =0 und f(x) =1 sonst. Wie berechnet ich also die Grenzfunktion richtig? Ist sie nicht f(x)=1?
02.08.2012, 22:18	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Sie ist fast überall 1, nur in der Null nicht. Du kannst nämlich nicht erst den Grenzwert bilden, ohne den Fall $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ zu betrachten. Ansonsten könnte man auch sagen, dass $\begin{eqnarray} n\lvert x\rvert \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ gegen Unendlich geht, was ja nicht der Fall ist.
02.08.2012, 22:37	chris95	Auf diesen Beitrag antworten »
Also sozusagen zuerst einsetzen und dann den Limes bilden?
02.08.2012, 23:44	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, so in etwa. Du brauchst ja für den Grenzwert ein festes $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ , daher brauchst du die Fallunterscheidung. Also: Sei $\begin{eqnarray} x\in(-1,1) \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty}\dots=\dots \end{eqnarray}$ . An dieser Stelle hast du dein $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ja schon gewählt, da musst du die Null auch berücksichtigen.
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03.08.2012, 09:46	chris95	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah okay, Danke .

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