Potenzreihe 2

03.08.2012, 14:55

user007

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Potenzreihe 2

Meine Frage:
Hallo leute ich habe wieder eine Potenzreie aufgabe ,bei der ich im moment festecke und auch nicht so richtig weiss welches Kriterium ich anwenden soll.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(x-1)^n}{n} \end{eqnarray*}$

Für hilfe wäre ich dankbar.

Meine Ideen:
Bin mir nicht sicher ob ich das Wurzelkriterium anwenden kann.

03.08.2012, 15:09

Che Netzer

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RE: Potenzreihe 2
Hallo,

du möchtest sicher den Konvergenzadius bestimmen, oder?
Dann schreib doch erst einmal irgendeine Formel dafür auf.
Egal ob mit Wurzel oder Quotient, die sind hier relativ gleich schwierig/einfach.

mfg,
Ché Netzer

03.08.2012, 16:12

user007

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Ja die frage ist wieder für welches x Element von R konvergiert die Potenzreihe.

Mein Ansatz: Ich hab das x wieder weggelassen.

(-1)^n *(n+1) / n*(-1)^(n+1)

Dann habe ich alles gekürzt was ging und das stehen: (n+1)/-n

03.08.2012, 16:23

Che Netzer

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Nein, auf diese Weise kannst du das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auch nicht weglassen.
Die allgemeine Form einer Potenzreihe ist
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty a_n(x-x_0)^n \end{eqnarray*}$ .
(oder mit Startindex 0)
Zur Bestimmung des Konvergenzradius rechnest du nur mit $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ , in diesem Fall hier ist $\begin{eqnarray*} a_n=\tfrac1n \end{eqnarray*}$ .

Zu den Potenzreihen solltest du dir vielleicht nochmal deine Aufzeichnungen durchlesen.

Davon abgesehen war der Rest aber richtig.
Schreib also nochmal den Bruch auf, den du dann noch zu stehen hast, das ist fast der gleiche wie vorher.

03.08.2012, 16:36

user007

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Warum ist das an =1/n ?

03.08.2012, 16:54

Che Netzer

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Das kann man ablesen. Wir haben hier ja $\begin{eqnarray*} x_0=1 \end{eqnarray*}$ (das, was von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abgezogen wird)
$\begin{eqnarray*} \frac{(x-1)^n}n\overset!=a_n(x-1)^n \end{eqnarray*}$ .
Jetzt klar?

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03.08.2012, 17:17

user007

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Ehrlich gesagt nicht. Ich versteh nicht warum das x0 = 1 ist?

03.08.2012, 17:18

Che Netzer

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Na gut, dann allgemeiner.
Es soll gelten:
$\begin{eqnarray*} \frac{(x-1)^n}n\overset!=a_n(x-x_0)^n \end{eqnarray*}$
Hieran kann man doch ablesen, dass $\begin{eqnarray*} x_0=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_n=\tfrac1n \end{eqnarray*}$ , oder?

03.08.2012, 17:45

user007

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Was setze ich eigentlich in dieser Formel für x ein? Ist eigentlich meine Rechnung nicht richtig?

03.08.2012, 17:54

Che Netzer

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In welcher Formel, die du benutzt, kommt denn ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ vor?

Du betrachtest zur Bestimmung des Konvergenzradius nur die Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ .

03.08.2012, 18:32

user007

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Ah ok ich glaube ich habs jetzt verstanden.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n } * \frac{n+1}{1} =<br /> <br /> \frac{1}{n} * \frac{n}{1} +1 = \frac{1}{n}* n+1 \end{eqnarray*}$

Bis hierhin richtig ?

03.08.2012, 18:39

Che Netzer

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Meinst du
$\begin{eqnarray*} \frac1n\left(n+1\right) \end{eqnarray*}$
oder
$\begin{eqnarray*} \left(\frac1n\cdot n\right)+1 \end{eqnarray*}$ ?

03.08.2012, 18:40

user007

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Ich meine das erste. Ist es richtig?

03.08.2012, 18:42

Che Netzer

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Ja, das stimmt. Dann achte ab jetzt aber auch auf die Klammersetzung; so, wie du es geschrieben hast, wäre es das zwiete.

Und jetzt musst du davon noch den Grenzwert bestimmen.

03.08.2012, 18:57

user007

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1/n *(n+1) = n/n + 1/n = 1 + 1/n = 1

Jetzt müsste ich fertig sein oder?

03.08.2012, 19:49

Che Netzer

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Zitat:

Original von user007
1/n *(n+1) = n/n + 1/n = 1 + 1/n = 1

Das rot markierte ist falsch. Genau genommen ist das Unsinn.

Für $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ ist z.B. $\begin{eqnarray*} 1+\tfrac1n=1+1=2\neq1 \end{eqnarray*}$ .
Der Grenzwert ist 1, das stimmt, aber das Gleichheitszeichen hat da nichts zu suchen.
Wenn doch, dann hättest du links davon immer den Limes hinschreiben können.

Naja, den Grenzwert hast du ja aber richtig bestimmt, der Rest der Gleichungskette war auch richtig, sogar die Klammersetzung Freude

Freude

Also ist der Konvergenzradius 1.
Und für welche $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ konvergiert die Reihe dann?

03.08.2012, 21:03

user007

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1 oder ?

03.08.2012, 21:36

Che Netzer

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Ja, für $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ konvergiert die Reihe. Für welche noch?
Dazu kannst du entweder ein Intervall angeben, in dem diese Werte liegen, für die die Reihe konvergiert, oder eine Ungleichung, die diese Werte erfüllen müssen.

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