Lebesgue Nullmengen

03.08.2012, 15:09

Kmac

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Lebesgue Nullmengen

Meine Frage:
Hallo,

ich versuche mich gerade (also seit heute morgen schon) am folgenden Beweis:

Es sei $\begin{eqnarray*} A\subset \mathbb R ^n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A°(offen)\neq \left\{ \right\}\Rightarrow A \end{eqnarray*}$ ist keine Nullmenge (d.h. $\begin{eqnarray*} \lambda ^*(A)>0 \end{eqnarray*}$ ).

Das soll bewiesen werden. Allerdings habe ich keine Idee, habe auch schon den ganzen Morgen gegoogelt.

Kann mir bitte jm einpaar Ideen geben!
Vielen Dank, kmac

Meine Ideen:
mithilfe eines Beweises durch Kontraposition:

A ist Nullmenge (nich Leere Menge) => A ist nicht offen

Leider habe ich auch hier keine Idee! unglücklich

unglücklich

03.08.2012, 15:14

Che Netzer

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RE: Lebesgue Nullmengen
Hallo,

wenn $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ offen ist, was heißt das dann für einen Punkt $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ ? (bzw. hier für einen Punkt $\begin{eqnarray*} x\in A^\circ \end{eqnarray*}$ , der nach Voraussetzung existiert)

mfg,
Ché Netzer

Deine Umkehrung ist auch nicht ganz richtig. Dass $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ offen ist, fordert niemand, aber das Innere von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ soll nichtleer sein.

03.08.2012, 15:44

Kmac

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Danke schonmal für dein Interesse!

"wenn $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ offen ist, was heißt das dann für einen Punkt $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ ? (bzw. hier für einen Punkt $\begin{eqnarray*} x\in A^\circ \end{eqnarray*}$ , der nach Voraussetzung existiert)"

Das heißt, dass x innerer Punkt ist, was bedeutet, dass eine Epsilon-Kugel um x ganz in A liegen muss, und das gilt für alle x aus A.

Weiterhin muss ich dann die offenen Kugeln vereinigen.
Dies ergibt dann eine bel. Vereinigung offener Mengen/Kugeln.
Und bel. Vereinigungen offener Mengen sind offen. i.B. sind offene Mengen messbar.

Irgendwie kriege ich leider die Kurve nicht, wie ich daraus folgern soll, dass A keine Nullmenge ist. (Vll. liegt es auch daran, dass wir keine Definition von Nullmengen haben, das einzige was ich dadrüber weiß ist, dass
Die leere Menge eine Nullmenge ist.
und
Einpunktmengen Nullmengen sind und deren Vereinigung (endlich) ist ebenfalls eine Nullmenge.
Kannst mir bitte weiterhin nen Tip geben!
Danke!

gerade wo ichs weggeschickt habe, kommt noch eine Idee:

vll. kann ich damit argumentieren, dass die Vereinigung aller $\begin{eqnarray*} x_{i}\in A°, i\in I \end{eqnarray*}$ (also die Vereinigung von unendlich vielen Einpunktmengen) keine Nullmenge ist!???

Vielen DAnk

03.08.2012, 15:51

Che Netzer

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Zitat:

Original von Kmac
Das heißt, dass x innerer Punkt ist, was bedeutet, dass eine Epsilon-Kugel um x ganz in A liegen muss, und das gilt für alle x aus A.

Ja, genau. Die Aussage reicht aber schon für ein einziges $\begin{eqnarray*} x\in A^\circ \end{eqnarray*}$ .
Du solltest jetzt diese Epsilon-Kugel betrachten, die komplett in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ liegt.

Zitat:

Weiterhin muss ich dann die offenen Kugeln vereinigen.
Dies ergibt dann eine bel. Vereinigung offener Mengen/Kugeln.
Und bel. Vereinigungen offener Mengen sind offen. i.B. sind offene Mengen messbar.

Naja, ob die Menge messbar ist, ist hier eher nebensächlich.
Vereinigen musst du hier aber nichts, du brauchst nur eine einzige offene Kugel.

Zitat:

[...]Einpunktmengen Nullmengen sind und deren Vereinigung (endlich) ist ebenfalls eine Nullmenge.

Generell sind abzählbare Vereinigungen von Nullmengen wieder Nullmengen.
Als Definition einer Nullmenge:
Eine Menge $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ heißt Nullmenge, wenn es eine Lebesgue-messbare Menge $\begin{eqnarray*} N' \end{eqnarray*}$ gibt, mit $\begin{eqnarray*} N\subseteq N' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda(N')=0 \end{eqnarray*}$ .

Als weiterer Tipp: Die Monotonie des Maßes ist hier hilfreich.

03.08.2012, 15:56

Che Netzer

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Da ich deinen Nachtrag auch gerade fast übersehen hätte, antworte ich darauf mal separat:

Zitat:

Original von Kmac
vll. kann ich damit argumentieren, dass die Vereinigung aller $\begin{eqnarray*} x_{i}\in A°, i\in I \end{eqnarray*}$ (also die Vereinigung von unendlich vielen Einpunktmengen) keine Nullmenge ist!???

Nein, das geht nicht. Wie gesagt sind abzählbare Vereinigungen von Nullmengen wieder Nullmengen. Und es gibt sogar Mengen, die überabzählbar viele Elemente haben, aber trotzdem Nullmengen sind; sogar in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , also ohne dass man Linien im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ betrachten müsste.
D.h.:
Man kann im allgemeinen keine Aussage treffen, ob die überabzählbare Vereinigung von Nullmengen (bzw. Einpunktmengen) wieder eine Nullmenge ist.

Aber wie gesagt: Vereinigungen brauchst du hier gar nicht zu betrachten. Wir sind ja keine Spanner...

03.08.2012, 16:19

Kmac

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Hey Che Netzer, also danke schonmal,

also wenn ich die Monotonie des Maßes hier einfliessen lasse:

dann hätte ich folgendes:

$\begin{eqnarray*} x\in A° \Rightarrow \exists B_{\in }(x)\in A \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B_{\in }(x)\subset A \Rightarrow \lambda^*B_{\in }(x)\leq \lambda^*(A) \end{eqnarray*}$

Jetzt muss ich wahrscheinlich zeigen, dass meine offene Kugel nicht leer ist!??? oder?

Wie ich das zeigen soll weiss ich auch wieder nicht! mhhh...
mir kommt gerade die Idee:
und zwar enthält die offene Kugel ja das x. somit ist sie nicht leer. und somit ist auch A nicht leer!

Wäre das so richtig????

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03.08.2012, 16:22

Kmac

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Ach und übrigens auch danke für die andere Erklärung bzgl. der abzählbaren Vereinigung von Nullmengen! -das war mir auch nicht so ganz klar! Danke

03.08.2012, 16:27

Che Netzer

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Zitat:

Original von Kmac
Jetzt muss ich wahrscheinlich zeigen, dass meine offene Kugel nicht leer ist!??? oder?

Hier ist noch ein Problem, ansonsten ist alles in Ordnung.
Dass die Kugel nicht leer ist, ist klar, aber das sagt nichts über das Maß aus.
Du hast jetzt also mit dem Maß der Kugel eine untere Grenze für das Maß der Menge.
Dein Ziel ist, zu zeigen, dass das Maß der Menge echt größer als 0 ist.
Was liegt da also nahe? Augenzwinkern

Augenzwinkern

PS: Das Epsilon kannst du übrigens mit \epsilon ( $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ ) oder \varepsilon ( $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ ) schreiben.
Zur abzählbaren Vereinigung von Nullmengen: Das folgt übrigens auch direkt aus der Subadditivität, da $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty0=0 \end{eqnarray*}$ .

03.08.2012, 16:43

Kmac

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etwa folgendes:

$\begin{eqnarray*} \lambda^*B_{\in }(x) > 0 \Rightarrow \lambda^*(A)>0<br /> \end{eqnarray*}$ wegen der Monotonie!

sicher bin ich mal wieder nicht, du schreibst aber, so als ob es so einfach wäre!?!

Wäre das denn dann richtig?

Unklar war mir folgendes : "Man kann im allgemeinen keine Aussage treffen, ob die überabzählbare Vereinigung von Nullmengen (bzw. Einpunktmengen) wieder eine Nullmenge ist."
denn ich habe irgendwo gelesen, dass überabzählbare Vereinigungen von Nullmengen keine Nullmengen sind. Aber anscheinend ist das doch nihct so!
Ich sehe gerade, dass da steht "brauchen nicht": "Überabzählbare Vereinigungen von Nullmengen brauchen nicht Nullmengen zu sein, z.B. [0,1]!!!! alles klar dann hierzu! smile

smile

03.08.2012, 16:53

Che Netzer

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Ja, vollkommen richtig Freude

Freude

Jetzt musst du nur noch wissen, wieso die offene Kugel keine Nullmenge ist.
Hast du dazu Ideen?
Bzw. habt ihr das schonmal bewiesen?
Wenn nicht: Hattet ihr schon Äquivalenz von Normen?

Zitat:

Unklar war mir folgendes : "Man kann im allgemeinen keine Aussage treffen, ob die überabzählbare Vereinigung von Nullmengen (bzw. Einpunktmengen) wieder eine Nullmenge ist."
denn ich habe irgendwo gelesen, dass überabzählbare Vereinigungen von Nullmengen keine Nullmengen sind. Aber anscheinend ist das doch nihct so!

Überabzählbare Vereinigungen von Nullmengen können Nullmengen sein, müssen es aber nicht sein.
Beispiele:
1. $\begin{eqnarray*} [0,1]\subset\mathbb R \end{eqnarray*}$ ist eine überabzählbare Vereinigung von Einpunktmengen, ist aber keine Nullmenge.
2. $\begin{eqnarray*} [0,1]\times\{0\}\subset\mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ ist etwa dieselbe Vereinigung, ist aber eine Nullmenge.

03.08.2012, 16:59

Kmac

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[quote]Original von Che Netzer
Ja, vollkommen richtig Freude

Freude

Jetzt musst du nur noch wissen, wieso die offene Kugel keine Nullmenge ist.
Hast du dazu Ideen?
Bzw. habt ihr das schonmal bewiesen?
Wenn nicht: Hattet ihr schon Äquivalenz von Normen?

Also hierzu hatten wir noch nichts, Äquivalenz von Normen hatten wir auch nicht in der gesamten VL!

Wärst du so nett und könntest mir das eventuell schreiben! Bitte!

03.08.2012, 17:04

Che Netzer

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Hm, dann wäre der folgende (einfachste) Weg vermutlich nicht möglich:
Man verwende die $\begin{eqnarray*} \lVert\cdot\rVert_\infty \end{eqnarray*}$ -Norm. Dann ist $\begin{eqnarray*} B_\varepsilon(x) \end{eqnarray*}$ ein Würfel mit Seitenlänge $\begin{eqnarray*} 2\varepsilon \end{eqnarray*}$ .
Oder hattet ihr diese Norm schon und dürft sie benutzen?

Ansonsten versuche es mit der Standard- bzw. euklidischen Norm und versuche, dort einen (offenen) Würfel hineinzuplatzieren.

03.08.2012, 17:17

Kmac

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Diese Norm hatten wir nicht, aber wir hatten schonmal bewiesen, dass alle offenen Mengen messbar sind. Und das haben wir dann mit einem Würfel mit Zentrum x und Kantenlänge $\begin{eqnarray*} 2\epsilon \end{eqnarray*}$ ... bewiesen.

Das sagt mir jetzt allerdings nichts dadrüber aus, ob diese offene Menge eine Nullmenge ist,oder?
Wobei es doch was aussagen müsste, nachdem ich hier schon den halben Tag bewiesen habe, dass eine offene Menge (außer leere Menge) keine Nullmenge ist?

Kannst du in Worte fassen, weshlab eine offene Kugel keine Nullmenge ist?

Dankeschön! Du bist super! smile

smile

03.08.2012, 17:24

Che Netzer

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Überlege dir mal, wie groß ein Würfel sein darf, damit er in eine Kugel mit Radius $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ passt.
Die Eckpunkte stören ja am meisten. Du kannst ja mit Pythagoras weiterrechnen, wenn die Diagonale $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ sein soll und du $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Seiten hast. (diese haben jeweils die halbe Seitenlänge)

EDIT:

Zitat:

Kannst du in Worte fassen, weshlab eine offene Kugel keine Nullmenge ist?

Tut mir leid, wir sind hier nicht dazu da, um die Aufgaben vorzurechnen, die musst du schon irgendwie selbst lösen Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.08.2012, 17:31

Kmac

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ich weiss ganz genau, dass ihr nicht zum Aufgaben vorrechnen seid! smile

smile

Ich lerne nur gerade für meine mündliche Ana Prüfung, und wollte das jetzt noch abhacken, und habe auch eigentlich nicht soviel Zeit um mich mit dieser einen Aufgabe zu beschäftigen,
deshalb habe ich dich drum gefragt, ob du mir in Worten sagen könntest, weshalb eine offene Kugel keine Nullmenge ist.

Ansonsten hast du mir schon sehr sehr viel geholfen! Danke nochmals,

ich wäre sehr dankbar, wenn du mir das doch noch in Worte fassen kannst! Wenn nicht, dann muss ich mal schauen, ob ich es heute noch auf die Reihe bringe.

ps. es wäre mir schon wichtig zu wissen, weshalb eine offene Kugel keine Nullmenge ist!!

03.08.2012, 17:34

Kmac

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geht es denn dadrum, dass die offene Kugel eine abzählbare Vereinigung von meßbaren Mengen ist und damit selbst meßbar. Aber wieso dann keine Nullmenge???
das ist mir nicht klar!?

03.08.2012, 17:36

Che Netzer

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Dann gebe ich mal als größeren Tipp: Suche dir ein $\begin{eqnarray*} c\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ (abhängig von $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ ), so dass der (offene) Würfel mit Seitenlänge $\begin{eqnarray*} \tfrac{2c}{\sqrt n} \end{eqnarray*}$ in der offenen Kugel mit Radius $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ enthalten ist.
(dieser Würfel ist dann offenbar keine Nullmenge, wenn $\begin{eqnarray*} c>0 \end{eqnarray*}$ )

EDIT: Wieso denn schon wieder Vereinigungen? Und die Messbarkeit von offenen Kugeln braucht man hier sicher nicht noch zu zeigen.

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