Zufallsvariable X Modus, Median, Erwartungswert und Varianz berechnen?

03.08.2012, 15:21	verzweifelt123	Auf diesen Beitrag antworten »
Zufallsvariable X Modus, Median, Erwartungswert und Varianz berechnen? Meine Frage: Ein Profi wirft beim Training aus einer Entfernung von sieben Metern auf den Korb. Er trifft bei jedem Wurf mit einer Wahrscheinlichkeit von p= 1/2. Die Zufallsvariable X ist definiert als die Anzahl der Treffer bei einer Serie von vier Würfen. Lösung: 2;2;2;1 Meine Ideen: Mir ist die Formel nicht ganz klar, welche ich dafür verwenden. Beim Erwartungswert rechne ich ja alle Wahrscheinlichkeiten zusammen, also 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 = 2 Wie berechne ich hier allerdings Modus und Median? Mit diesen Ergebnissen kann ich ja dann die Varianz berechnen oder?
03.08.2012, 15:41	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, der Modus ist der wahrscheinlichste Wert. Welcher Treffer ist denn am Wahrscheinlichsten? Dafür musst du erstmal die Funktion kennen, nach der man die Wahrscheinlichkeit für k Treffer bestimmen kann. Wie kann man die Wahrscheinlichkeit für k Treffer berechnen? Mit freundlichen Grüßen.
03.08.2012, 15:48	verweifelt123	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort. Die Wahrscheinlichket, dass der Ball je Wurf rein geht, ist 50%. Somit würde der Ball jeden 2. Wurf "reingehen", das wäre dann der Modus oder? Kommt man so drauf oder kann man das irgendwie berechnen? Von 4 Würfe 50% wären 2. "Wie kann man die Wahrscheinlichkeit für k Treffer berechnen?" Das weiß ich leider nicht, gibt es dazu eine Formel? Danke!
03.08.2012, 16:43	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, du hast intuitiv die Formel für den Erwartungswert dargestellt: np Das ist der Erwartungswert der Verteilungsfunktion. Erst muss man die Verteilungsfunktion ermitteln. Danach kann man sich dem Modus und dem Median zuwenden. Erstmal muss man sich überlegen, wie z.B. die Wahrscheinlichkeit ist genau einen Treffer zu landen. Nimmt man erst mal den Fall an, dass der eine Treffer sich im 1. Wurf ereignet, dann ist die Wahrscheinlichkeit dafür: P( nur 1.Wurf Treffer) = P(Treffer)P(kein Treffer)P(kein Treffer)P(kein Treffer) 1. Frage: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer nur im 1. Wurf? Da aber auch im 2., 3., oder 4. Wurf der eine Treffer sein kann, muss man die Wahrscheinlichkeit für den Treffer im 1. Wurf mit der Anzahl der Würfe multiplizieren. 2. Frage: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit einen Treffer im 1., 2., 3. oder 4. Wurf zu erhalten? Mit freundlichen Grüßen. (Hatte aus Versehen mein ganzen Beitrag gelöscht. Musst nochmal neu formulieren.)
03.08.2012, 17:15	verweifelt123	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, vielen Dank. 1. Frage: zu 50% ist es ein Treffer und zu 50% kein Treffer. Somit würde ich (1/2)(1/2)(1/2)*(1/2) rechnen. Also 1/16 Mal 4 = 1/4 2. Frage: Genau so hoch, sofern ich es richtig gemacht habe. Bitte nicht böse sein, falls es absolut daneben ist, was ich gerechnet habe. danke!
03.08.2012, 17:51	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Prinzp richtig. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der ein Treffer genau im 1. Wurf sich ereignet ist: $\begin{eqnarray} \Bigg( \frac{1}{2} \Bigg)^4= \frac{1}{16} \end{eqnarray}$ Wahrscheinlichkeit für 1 Treffer während einer der vier Würfe ist dann: $\begin{eqnarray} 4 \frac{1}{16} = \textcolor{red}{\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} * {\Bigg (\frac{1}{2} \Bigg)^1} * {\Bigg(\frac{1}{2} \Bigg)^3}}= \frac{1}{4}=0,25 \end{eqnarray}$ Den roten Ausdruck kann man jetzt auch allgemein schreiben: Wahscheinlichkeit genau für k Treffer bei n Würfen: $\begin{eqnarray} P(x=k)=\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} * \Bigg( p \Bigg)^k} * {\Bigg( 1-p \Bigg)^{n-k} \end{eqnarray}$ Das ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung. Die Verteilungsfunktion ist dann: $\begin{eqnarray} P(x \leq k)=\sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} * \Bigg( p \Bigg)^k} * {\Bigg( 1-p \Bigg)^{n-k} \end{eqnarray}$ Um jetzt den Modus auszurechnen, muss man das Maximum der Wahrscheinlichkeitsfunktion* bestimmen. Welche Anzahl der Treffer ist am Wahrscheinlichsten? Dazu musst du für n=4 und p=1/2 die Wahrscheinlichkeiten für k Treffer ausrechnen. Also für k=0, k=1, k=2, k=3, k=4. Bei dem k bei dem die Wahrscheinlichkeit am größten ist, ist dann der Modus.
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