Bestimmung Residuum |
| 04.08.2012, 01:23 | XeqteR | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Bestimmung Residuum Hallo, es geht um folgende Aufgabe: "Geben Sie die Residuen der folgenden Funktion f in allen isolierten Singularitäten an!" Aufgabe: f(z)=(z-1)/(ln(z+1)) ---> Also Singularität in z=0) Meine Ideen: Die Lösung ist Res(f,0)=-1. Das weiß ich auch sicher. Die bei uns in der Lösung verwendete Begründung hierfür war, dass man einfach den Zähler an der Stelle z=0 auswertet und den Nenner ableitet und an der Stelle z=0 auswertet, da die Ableitung des Nenners ungleich 0 ist. So erhält man Res(f,z)=-1. Das ist mir auch soweit klar. Meine eigentliche Frage nun: Ich selbst ging anders vor und schrieb den ln im Nenner um: ln(z+1)=z-z²/2 [+/- (Terme der Ordnung die sowieso nicht intressieren)] Schaut man sich nun f(z) an steht da: (z-1)/(z-z²/2+Terme(z³)) --> ich kenn das nun so, dass man sich alle möglichen Koeffizienten vor 1/z anschaut --> also sieht man dass man sowohl bei (-1)/z, also koeffizient -1, als auch bei z/(z²/2), also Koeffizient -2 auf 1/z kommt -->folglich müsste das Res(f,0)=-1-2=-3 sein... Wahrscheinlich ist es ein Denkfehler (aloo ich könnte mir vorstellen dass das ablesen nur möglich ist, wenn man gleiche terme hat, also zB: (z-1)-terme im zähler mit verschiedenen potenzen geteilt durch (z-1)² oder einfach nur z-Terme im zähler geteilt durch z³ im nenner, etc...kann das sein?), danke schon mal für die Antwort!!! |
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| 04.08.2012, 01:56 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Bestimmung Residuum Hallo, rechnest du da etwas wie ? Sieht ganz danach aus, denn sieh dir z.B. mal an. Nach deiner Methode käme man da auf ein Residuum von -1 an der Stelle Null, obwohl die Funktion dort sogar wohldefiniert ist. (An sich ist das Zusammenzählen der Koeffizienten vor aber richtig, man muss die nur richig bestimmen) mfg, Ché Netzer |
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| 04.08.2012, 16:46 | XeqteR | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Bestimmung Residuum nja genau das war ja meine frage... also wo mein denkfehler liegt... bei den beiden angegebenen beispielen funktioniert es ja mit dem "ablesen"... nur eben hier nicht und ich würde gerne wissen warum.. |
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| 04.08.2012, 17:00 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Bestimmung Residuum Sagte ich doch; weil du rechnest. Wenn man bei diesem Beispiel noch ein +1 in den Nenner schreiben würde, wäre da auch alles wohldefiniert, das Residuum würde sich bei dir aber nicht verändern. |
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| 05.08.2012, 17:10 | XeqteR | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Bestimmung Residuum Vielen Dank, ich glaube ich habs etz verstanden, wo mein problem lag, aber hab dazu noch ne kleine anschlussfrage: wenn ich den Cot z betrachte und will hierbei meine Residuuen ausrechnen und habe die Reihe des Cot z nicht im Kopf und betrachte also cos/sin und schreib beides als reihen um ---> Wie kann ich dann herausfinden dass mein Residuum 1 sein muss für alle k aus den ganzen Zahlen (wegen k*pi nullstellen des sinus) Wenn ich die reihen ausschreibe habe ich ja Zähler/nenner= (1-z²/2+z^4/4!-z^6/6!+...)/(1-z³/3!+z^5/5!-z^7/7!+...) da ich ja dann hier immer z²/z³, z^4/z^5,... Terme habe müsste ich die ja alle aufsummieren... aber genau so darf ich das ja hier nicht machen, wenn ich es vorher richtig verstanden habe... weil ich dann auch wieder zähler-nenner-vergleiche mache die ich nicht darf... aber wie geht es dann? Habe auch versucht beide reihen die ich ja durcheinander teile in eine umzuschreiben, was aber auch schief ging... (Vom ergebnis her ist es mir schon klar, kennt man die reihenschreibweise des cot z auswendig, kann man es ja sofort ablesen, da diese mit 1/x beginnt...) Danke nochmals! |
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| 05.08.2012, 17:23 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Bestimmung Residuum Wieso möchtest du denn das als Reihen schreiben? Hier kannst du einfach den Nenner ableiten, dann kommst du auch auf 1. Ansonsten könntest du im Nenner ein ausklammern; dann hast du etwas von der Form , wobei der zweite Faktor für wohldefiniert ist. (0 reicht ja wegen der Periodizität) Aber wie gesagt: Das mit den Reihen ergibt hier keinen Sinn, benutze lieber die Regel über die Ableitung. |
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| 06.08.2012, 00:14 | XeqteR | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Bestimmung Residuum Ok, danke |
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