Lebesgue-maß = 0 ?

04.08.2012, 14:14

Hanna91

Lebesgue-maß = 0 ?

Meine Frage:
Hallo =)

also es geht im das lebesgue maß da ich da eingies noch nicht verstehe

wir hatten so eien aufgabe : sei $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ eine gerade in $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{2} \end{eqnarray*}$ zeigen sie dass das aüßere lebesgue maß von L gleich 0 ist

Meine Ideen:
naja soweit ich das verstanden habe is das 0 wenn es eine abzählbare menge an punkten is oder ?

also es soll gelten $\begin{eqnarray*} \lambda^{*}(L) = 0 \end{eqnarray*}$
ich glaube man kann die gerade irgendwie auf eine achse drehn und das dann auf der achse zeigen das es null ist aber der gedankengang ist sehr vage und ich weiß grad nicht so richtig wie ich das schön mathematisch formulieren kann

vieleicht weiß ja jemand rat wäre nett bis dann

hanna

04.08.2012, 14:23

Che Netzer

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RE: Lebesgue-maß = 0 ?
Hallo,

wenn ihr die Rotationsinvarianz des Lebesgue-Maßes voraussetzen könnt, geht das so.
D.h. man kann o.B.d.A. annehmen, dass $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ die $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse ist und dann mit der "Vereinbarung" $\begin{eqnarray*} \infty\cdot0=0 \end{eqnarray*}$ rechnen.

Es gibt aber auch überabzählbare Nullmengen, das hier ist ja ein Beispiel dafür.
Die allgemeine Definition einer Nullmenge ist folgende:
Eine Menge $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ heißt Nullmenge, wenn es eine messbare Menge $\begin{eqnarray*} N'\supseteq N \end{eqnarray*}$ gibt, deren Maß Null ist.

mfg,
Ché Netzer

04.08.2012, 14:47

Captain Kirk

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Hallo,

mit dem äußerem Lebesgue-Maß kann man elementarer argumentieren:
Aufgrund der Subadditivität genügt $\begin{eqnarray*} \lambda^{*}(L\cap ([a,a+1]\times \mathbb R) = 0 \end{eqnarray*}$ zu zeigen.
Überdecke in diesem Bereich die Gerade mit n Rechtecken der Länge 1/n und Höhe m/n (m sei die Steigung der Gerade, in den Fällen $\begin{eqnarray*} m=0, \infty \end{eqnarray*}$ wähle irgendein m ) und damit kann man das äußere Maß berechnen.

04.08.2012, 15:31

Hanna91

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hey danke schonmal für die antworten

also netzer das is ja dann genauso wie ichs mir gedacht habe obwohl ich ja dann bei dem problem bin was ich von anfang an hatte das ich nicht genau weiß warum $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ das maß 0 hat das steht bei uns so im skript als beispiel drin aber ohne beweis es ist ja wie gesagt überabzählbar

hm und zu kirks idee also ich sag dann einfach die anzahl der kästchen mit den ich das abdecke ist aus $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ das ist abzählbar und deswegen maß 0 oder wie ? hab ich das richtig verstanden ?

04.08.2012, 15:41

Che Netzer

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Zitat:

Original von Hanna91
obwohl ich ja dann bei dem problem bin was ich von anfang an hatte das ich nicht genau weiß warum $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ das maß 0 hat das steht bei uns so im skript als beispiel drin aber ohne beweis es ist ja wie gesagt überabzählbar

$\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ hat ganz sicher nicht Maß 0, sondern Unendlich. Allerdings hat die $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ Maß Null. Das kann man darüber zeigen, dass diese Achse ja ein "Quader" ist, und für die hat man eine sehr schöne Formel für das Lebesgue-Maß.

Du solltest lieber nicht so sehr auf die Abzählbarkeit achten.
Das einzige, was man da aussagen kann, ist folgendes:
Jede abzählbare Menge hat das Lebesgue-Maß Null.
Mehr nicht; es gibt auch genügend überabzählbare Nullmengen

04.08.2012, 15:54

Hanna91

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ohoh

stimmt ich glaub langsam dämmerts mir im $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{2} \end{eqnarray*}$ geht es um den flächeninhalt des wegen sagst du länge von L ist unedlich und höhe halt 0 deswegen maß=0

wenn ich jetzt eine fläche im $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{3} \end{eqnarray*}$ hätte wäre das maß auch null weil es da um ein volumen geht ? ist das jetzt richtig verstanden ?

04.08.2012, 15:56

Che Netzer

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Ja, genau. Freude

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Lebesgue-maß = 0 ?

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