Münzwanderung

04.08.2012, 18:11	die dumme Blondine	Auf diesen Beitrag antworten »
Münzwanderung Meine Frage: Zum 1.1.2002 wurden in allen beteiligten EU-Ländern Euro-Münzen in Umlauf gebracht. In jedem Land wurden ausschließlich Münzen eigener Prägung eingesetzt. Für die dann einsetzende ?Münzwanderung pro Jahr? zwischen den Gebieten Deutschland (D), Frankreich (F) und Sonstige Länder (S) sollten sich die jährlichen Wanderungsanteile folgendermaßen verhalten: 88% der am Anfang des Jahres sich in Deutschland befindenden Münzen bleiben in Deutschland, 6% wandern nach Frankreich und weitere 6% in die sonstigen Länder ab. Von Frankreich gehen jährlich 6% der Münzen nach Deutschland, 4% in die sonstigen Länder und 90% bleiben ?zu Hause?. Die jährlichen Wanderungsanteile bezüglich der Sonstigen Länder sind wie folgt: S !D 15%, S !F 5% und S! S 80%. (a) Stellen Sie den Vorgang der Münzwanderung graphisch dar und formulieren sie die zugehörige Übergangsmatrix. Überprüfen Sie, dass es sich dabei auch um eine Markov-Matrix handelt. (b) Angenommen, am 1.1.2002 wurden in Deutschland 3 Million, in Frankreich 2 Millionen und in allen EULändern insgesamt 15 Millionen 1-Euro-Münzen in Umlauf gebracht. Wie viele 1-Euro-Münzen befanden sich dann in den jeweligen Ländern am 1.1.2004 (Ansatz genügt). (c) Pendelt sich die prozentuale Verteilung der 1-Euro-Münzen (unabhängig ihrer Prägung) auf eine Grenzverteilung ein? Geben Sie diese gegebenenfalls an. (d) In den vorherigen Teilaufgaben wurde in den Betrachtungen nicht auf die Herkunft der Münzen, also auf ihre Prägungen, eingegangen. Wir sind nun, unter den im Aufgabentext genannten Hypothesen, an der prozentualen Verteilung der ?deutschen?, ?französischen? und ?sonstigen? Münzen auf die drei Gebiete (D, F, S) zum 1:1:2004 interessiert. Geben Sie einen Ansatz zur Berechnung dieser Verteilung an. (e) Wieviel Prozent der in Deutschland geprägten Münzen befinden sich in einer Grenzverteilung in Frankreich? (f) Diskutieren Sie Ihre Ergebnisse und hinterfragen Sie das hiesige Modell: Was wurde vielleicht zu stark vereinfacht, was gegebenenfalls nicht berücksichtigt? (Schauen Sie vielleicht auch in Ihr Portemonnaie und überprüfen, woher Ihre 1-Euro-Münzen kommen.) Meine Ideen: a) habe ich graphisch dargestellt und dann die Übergangsmatrix $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 0.88 & 0.06 & 0.15 \\ 0.06 & 0.9 & 0.05 \\ 0.06 & 0.04 & 0.8 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ aufgestellt. b) $\begin{eqnarray} x^{(0)} =\begin{pmatrix} 310^{6} \\ 210^{6} \\ 1510^{6} \end{pmatrix} \Rightarrow x^{(2)}=A^{2}x^{(0)}=\begin{pmatrix} 6.4110^{6} \\ 3.3710^{6} \\ 1.0210^{7} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ c) $\begin{eqnarray} \lim_{k\to \infty } = \begin{pmatrix} 8.710^{6} \\ 7.2510^{6} \\ 4.0510^{6} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ist das so weit erstmal richtig? Wie gehen d,e und f? d) $\begin{eqnarray} x_{1} = 310^{6} \Rightarrow x_{1} * \begin{pmatrix} 0.88 \\ 0.06 \\ 0.06 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ könnte man das als Ansatz für die Verteilung der in Deutschland geprägten nehmen? e) ? f) ? Kleine Anmerkung: ich lerne immer am besten, indem ich Lösungen zu passenden Fragestellungen angucken kann. Ich habe mir schon öfter über diese Aufgabe Gedanken gemacht, bin mir aber unsicher und wollte, da ich die Übungen nicht besuchen konnte, vor der Klausur nochmal nachfragen.
05.08.2012, 00:33	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Münzwanderung c) Es geht um die prozentuale Verteilung unabhängig von der Prägung. Falls vorhanden, müsste dieser Vektor Eigenvektor zum EW 1 und die Summe der Einträge 1 sein. d) Man könnte den Verteilungsvektor auf eine Verteilungsmatrix erweitern, die jedem Land einen Vektor bezüglich der Herkunftsverteilung aller im Umlauf befindlichen Münzen zuordnet. e) Welcher Eintrag der Grenzmatrix gibt das an?
05.08.2012, 02:14	die dumme Blondine	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, danke erstmal für die erste Antwort! zu c) also, ich weiß nicht, ob ich mich verrechnet habe, aber ich komme auf keinen Vektor. Per hand komme ich auf den 0 Vektor und der ach so tolle Taschenrechner, der Eigenvektoren angeblich selbst bestimmen kann, gibt mir eine Matrix raus. ausgehend von meiner ursprünglichen Lösung (also z.B. $\begin{eqnarray} 8.710^{6} : 2010^{6} \end{eqnarray}$ ) komme ich auf $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 43.5% \\ 36.25% \\ 20.25% \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ zu d) und e): da versteh ich leider nicht ganz, was du meinst... bezeichnest du mit Verteilungsvektor den unter d) von mir angegebenen Vektor oder einen anderen? (zwischendrin ein Geistesblitz) oder meinst du das mit Verteilungs bzw. Grenzmatrix: $\begin{eqnarray} G=\begin{pmatrix} 0.435 & 0.3625 & 0.2025 \\ 0.435 & 0.3625 & 0.2025 \\ 0.435 & 0.3625 & 0.2025 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ? Wenn ja, dann befinden sich 36.25% der in Deutschland geprägten Münzen in Frankreich (e) )!? Wenn ich immernoch völlig auf dem Holzweg bin, könntest du mir da ein Beispiel geben? Ich konnte leider weder Übung noch Vorlesung zur mathematischen Modellbildung besuchen und habe versucht mir alles selbst beizubringen und versuch halt jetzte vor der Klausur meine Lücken zu schließen. Dankeschön und LG
05.08.2012, 03:21	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Blondine, ich habe für die c) einen anderen Ansatz wie frank09. Im Prinzip musst du nur dieses Gleichungssystem lösen: 0,88d + 0,06f + 0,06s=d 0,06d + 0,90f + 0,04s=f 0,15d + 0,05f + 0,05s=s 1d + 1f + 1s =1 Die letzte Gleichung besagt, dass die Summe der Länderanteile gleich 1 sein muss. Das Ergebnis dieses Gleichungssystem ist die Grenzverteilung in sehr sehr vielen Jahren. Es kommt auch ein sehr schönes Ergebnis heraus. Mit freundlichen Grüßen.
05.08.2012, 15:06	die dumme Blondine	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Kasen75, also ich komme mit deinem Gleichungssystem auf $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1/3 \\ 1/3 \\ 1/3\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Deine Matrix dazu wäre dann aber meine transponierte Matrix.. Warum muss ich mit der transponierten und nicht mit der normalen rechnen? und wie komme ich dann zu d) und e)? Liebe Grüße
05.08.2012, 18:31	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, nach längerem Nachdenken, folge ich deiner Kritik. Ich würde es dann doch so aufstellen: 0,88d + 0,06f + 0,15s=d 0,06d + 0,90f + 0,05s=f 0,06d + 0,04f + 0,80s=s 1d + 1f + 1s =1 Macht ja auch mehr Sinn. Alle Anteile, die z.B. Deutschland zufließen, sind die Anteile, die die Staaten an Deutschland abgeben. Die Summe dieser Anteile ergibt dann wiederum den Anteil Deutschlands. Das Ergebnis ist dann aber nicht mehr ganz so schön. Ich habe mich wohl von dem schönen Ergebnis leiten lassen. Wirklich keine gute Idee. zu d) und e) hat ja frank09 dir schon ein paar Tipps gegeben. Ich habe dazu keine Idee. Mit freundlichen Grüßen.
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05.08.2012, 23:21	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Münzwanderung Eine Verteilungmatrix, die jedem Land einen Zeilenvektor zuordnet sieht wie folgt aus: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} D(D) & D(F) & D(S) \\ F(D) & F(F) & F(S) \\ S(D) & S(F) & S(S) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ D(F) heißt französische Münzen in Deutschland, F(S) Münzen sonstiger Herkunft in Frankreich, etc. Als Beispiel gebe es 2 (Mio) deutsche Münzen und 1 (Mio) frz. Münzen in Deutschland, wobei es in anderen Ländern gar keine gibt. Wie würde die Verteilung nach einem Jahr aussehen? $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0.88 & 0.06 & 0.15 \\ 0.06 & 0.9 & 0.05 \\ 0.06 & 0.04 & 0.8 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1.76 & 0.88 & 0 \\ 0.12 & 0.06 & 0 \\ 0.12 & 0.06 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die deutschen Münzen verteilen sich im gleichen Verhältnis wie die französischen auf die anderen Länder, weil man davon ausgehen muss, das jede Münze unabhängig von ihrer Herkunft die gleiche Wahrscheinlichkeit hat, in ein bestimmtes Land zu wandern. Wenn man die Anfangsverteilung lt. Aufgabe in die Verteilungsmatrix einsetzt, lassen sich d) und e) lösen. Die Spaltenvektoren der Grenzmatrix bestehen aus Eigenvektoren zum EW 1 und Koordinatensumme 1. Du weißt, wie man Eigenvektoren zum EW 1 ausrechnet? $\begin{eqnarray} G=\begin{pmatrix} 0.435 & 0.435 & 0.435 \\ 0.3625 & 0.3625 & 0.3625 \\ 0.2025 & 0.2025 & 0.2025 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
06.08.2012, 18:27	die dumme Blondine	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo frank09 Dankeschön ja, das weiß ich und wenn du dir meine Matrix G anguckst, dann siehst du, dass ich die gleichen Werte habe wie du, ich aber sie leider bei latex falsch eingetragen habe.. meine Matrix transponiert ist deine Matrix und meine Lösung für e) 0.3625 stimmt auch mit deiner Matrix überein... Das bedeutet dann also, ich hab es doch verstanden nur immernoch zu blöd latex richtig anzuwenden.. aber das krieg ich iwann auch noch hin also nochmal danke und LG die dumme Blondine

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