Verbrauchsmodell

04.08.2012, 18:39	die dumme Blondine	Auf diesen Beitrag antworten »
Verbrauchsmodell Meine Frage: An einem Stahlproduktionsprozess sind nebst einem Stahlwerk noch ein Kohlebergwerk, ein Eisenbergwerk und ein fossiles Kraftwerk beteiligt. Zur Herstellung von einer Tonne (t) Stahl werden 1t Kohle, 1t Eisenerz und eine Megawattstunde (MWh) elektrischer Energie benötigt. Das Stahlwerk produziert nun pro Tag 20t Stahl und bekommt dafür entsprechend viele Mengen Kohle, Eisenerz und Energie geliefert. Da sich ein Überschussverkauf nicht lohnen würde, fördert das Eisenbergwerk nur nach Bedarf für das Stahlwerk und benötigt zur Betreibung 15 MWh pro Tag. Das Kohlebergwerk produziert täglich 60t Kohle und benötigt dafür 20 MWh Strom. Das Kraftwerk erzeugt jeden Tag aus 30t Kohle insgesamt 80 MWh Strom und benötigt davon 5 MWh zum Eigenbedarf. Für Wartungen und Reparaturen an den vier Werken wird unter anderem Stahl aus dem Stahlwerk benötigt: Das Kohlebergwerk hat einen täglichen Bedarf von 4t Stahl und die übrigen drei Werke brauchen 2t Stahl pro Tag. (a) Stellen Sie die Verflechtung der vier Werke graphisch dar und bestimmen Sie die zugehörige Verbrauchsmatrix A. (b) Wieviel Überschuss an Energie, Kohle, Eisenerz und Stahl wird jeden Tag produziert und kann somit verkauft werden? (c) Ein zweites Stahlwerk benötigt für seine Vollauslastung noch 20t Kohle und 5 MWh Strom pro Tag. Kann dessen Bedarf aus dem Überschuss der Produktionskette aus Teil (a) gedeckt werden, wenn durch den Einsatz von Energiesparlampen jedes der vier Werke 20% weniger Energie verbraucht und das Kraftwerk nur 20t Kohle zur Stromerzeugung erhält? (d) Aus Kostengründen wird das Stahlwerk ins Ausland verlagert und taucht im Produktionsprozess nur noch als externe Nachfrage auf. Dafür wird die Eisenerzförderung verdoppelt, was entsprechend auch eine Verdopplung des Strombedarfs für das Eisenbergwerk nach sich zieht. Stellen Sie für diese Produktionskette die Verbrauchsmatrix B auf. Zeigen Sie, dass die Inverse $\begin{eqnarray} L = (I - B)^{-1} \end{eqnarray}$ existiert. Zeigen Sie über explizite Berechnung von L, dass diese nichtnegativ ist und bestimmen Sie zur externen Nachfrage (y) von 10 MWh, 70t Kohle und 90t Eisenerz den Produktionsvektor $\begin{eqnarray} x = (I - B)^{-1}y \end{eqnarray}$ . (e) Eine neues Bundesgesetz schreibt vor, dass mindestens 30% des Strombedarfs in Deutschland durch regenerative Energien gedeckt werden müssen. Diskutieren Sie die Auswirkungen auf das hiesige Modell der Stahlproduktion. Meine Ideen: a) Verflechtung und dazugehörige Verbrauchsmatrix A aufgestellt: $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 0.1 & 0.33 & 1 & 0.25 \\ 0.2 & 0 & 0 & 0.25 \\ 0.1 & 0 & 0 & 0.188 \\ 0.1 & 0.5 & 0 & 0.063 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 10t \\ 10.2t \\ 0 \\ 20MWh \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ c) Die Kohle hätte weiterhin eine Überproduktion von 0.2t pro Tag d) $\begin{eqnarray} B= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0.25 \\ 0 & 0 & 0.188 \\ 0 & 0 & 0.063 \end{pmatrix} <br /> L = (I - B)^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0.27 \\ 0 & 1 & 0.2 \\ 0 & 0 & 1.07 \end{pmatrix} <br /> x = (I - B)^{-1}y= Ly= L\begin{pmatrix} 10 \\ 70 \\ 90 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 34.01 \\ 88.06 \\ 96.05 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ e)Angenommen hiesiges Modell benötigt 30t Kohle und 80MWh. => 56% MWh und 21t Kohle. => Weniger Kohle wird benötigt, da weniger Energie aus Kohle entsteht. Meine Frage: stimmt das so oder habe ich einen Fehler gemacht? wenn ja welchen und wie könnte man ihn verbessern?
04.08.2012, 19:19	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich denke in der Verbrauchsmatrix stehen absolute Werte. Analog zur graphischen Darstellung. In der Verbrauchsmatrix kann man dann z.B. ablesen wieviel Tonnen Stahl das Stahlwerk an das Kohlebergwerk liefert. So würde ich erstmal die Verbrauchmatrix aufstellen. Mit freundlichen Grüßen. Thema offen für Alle.
04.08.2012, 21:05	die dumme Blondine	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort ja, ich hab da meine Notizen durcheinander gebracht und... naja,.. passiert jedem mal, denk ich also das wären dann die anderen Ergebnisse... a) A= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 20 & 20 &20 \\ 4 & 0 & 0 & 20 \\ 2 & 0 & 0 & 15 \\ 2&30&0&5\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ b) s.o. c) s.o. d) B= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 20 \\ 0 & 0 & 15 \\ 30&0&5\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} L = (I - B)^{-1} =\begin{pmatrix} 0.006623 & 0 &-0.033113 \\ -0.745033 & 1 & -0.024834 \\ -0.049669 &0 & -0.001656 \end{pmatrix} <br /> x = (I - B)^{-1}y= Ly= L\begin{pmatrix} 10 \\ 70 \\ 90 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -2.91 \\ 60.31 \\ -0.645 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ (zumindest die Ergebnisse mit dem Taschenrechner... ) e) s.o. d) kommt mir bisschen spanisch vor, da negative Werte vorhanden sind, aber vllt habe ich einen Denkfehler und der kluge Taschenrechner liegt richtig (er ist ein Taschenrechner, er sollte es). Edit: Danke nochmal und Liebe Grüße
04.08.2012, 21:43	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, gehen wir mal Stück für Stück vor. Mal abgesehen davon, dass ich meine Verbrauchsmatrix gleich deiner transponierten Verbrauchmatrix ist, habe ich bei b) etwas anderes heraus. Wie kommst du denn auf die 10,2t ? Noch mal zurück zu Verbrauchsmatrix: Schreibt ihr als Zeilenbezeichnung nicht die liefernden Betriebe und als Spaltenbezeichnung die empfangenden Betriebe? Bei mit steht in der ersten Zeile / zweite Spalte eine 4. Das würde bei mir heißen: 4 Tonnen Stahl werden an das Kohlebergwerk geliefert. Mit freundlichen Grüßen.
05.08.2012, 01:41	die dumme Blondine	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, also erstmal zu dem Zeilen- /Spalten Problem: Also wir haben das so gelernt (und ich hab eben das Skript zur Sicherheit noch einmal herausgeholt), dass wenn das Stahlwerk von sich selbst 2t bekommt, vom Kohlebergwerk 20t, vom Eisenbergwerk 20t und vom Kraftwerk 20MWh, dann lautet die erste Zeile 2 20 20 20 und da das Kolebergwerk 4t, das Eisenbergwerk 2t und das Kraftwerk 2t Stahl benötigen ist die erste Spalte 2 4 2 2... auf die 10,2t bin ich gekommen, da das Kohlebergwerk 60t produziert, 30t ans Kraftwerk abgibt und 20t ans Stahlwerk liefert. dies ergibt 10t. Die 0.2 stammen noch aus der ersten Berechnung, mit der 0.1 0.33 usw Matrix (also die erste), wo ich noch Denkfehler gemacht habe und ja auch leider hier zuerst gepostet habe (Vor Klausuren herrscht bei mir oft Chaos, das muss ich leider zugeben ) also: b) $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 10t \\ 10t \\ 0 \\ 20MWh \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ c) Die Überproduktion würde ausreichen! LG und Danke und Entschuldigung, dass ich manchmal leider etwas verwirrt wirke und leider auch bin. Konnte Leider weder Übung noch Vorlesung zur mathematischen Modellbildung besuchen
05.08.2012, 02:25	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, die Lösung für c) ist richtig. Wie bist du vorgegangen? Mit freundlichen Grüßen.
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05.08.2012, 15:17	die dumme Blondine	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, also auf c) bin ich gekommen, da wir eine Überproduktion von 10t Stahl, 10t Kohle und und 20MWh haben. Das Kraftwerk benötigt nur noch 20t statt 30t Kohle, also haben wir schon 20t Kohle überproduziert. Das 2. Stahlwerk benötigt nun 20t Kohle und 5MWh. das bedeutet, dass wir am Ende immernoch eine Überproduktion von 10t Stahl und 15MWh haben. also ich bin sozusagen mit logischem Denken rangegangen. Liebe Grüße

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