Restklassen von Z modulo m

05.08.2012, 06:07

susette

Restklassen von Z modulo m

Meine Frage:
Hallo!
Ich lerne gerade für meine Algebra Klausur und bin auf ein Problem gestoßen. WIr haben folgendes Lemma:
Zu jeder Untergruppe U von (Z,+) gibt es ein bestimmtes m in N_0 mit
$\begin{eqnarray*} U=<m>=m\mathbb Z = \left\{ mk| k \in \mathbb Z \right\} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Dazu haben wir dann ein Beispiel gemacht:
Annahme m=7
U = <7> = (....-7, 0, 7, 14,....)
Ok das versteh ich noch. Ich multipliziere einfach 7 mit jeder ganzen Zahl.
Aber dann habe ich stehen:
$\begin{eqnarray*} \mathbb Z / U = \left\{ \vec{0}=0+u, ..., \vec{6}=6+u\right\} \end{eqnarray*}$
Wie komme ich darauf? (Tschuldigung, statt dem Pfeil sollten es gerade Striche sein - ich wusste nicht wie)
Hat die Menge 7 Elemente, weil m = 7 ist?

Weiter unten steht dann $\begin{eqnarray*} \vec{2} = \left\{ ....., -72, -5, 2, 9, 16, ...\right\} \end{eqnarray*}$
Ich versteh schon, dass bei dem oberen U einfach 2 dazugezählt wurde. Aber warum mache ich das hier?
Ich habe nun schon so viel über dieses Thema im Internet gesucht, aber ich blicke mich einfach nicht mehr durch. Es wäre wirklich nett, wenn mir jemand helfen könnte. Danke schon einmal !

05.08.2012, 08:42

DerJoker

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Moin Susette,

weißt du was eine Nebenklasse ist? Falls nicht solltest du dir Mal die genaue Definition dazu anschauen. Hier in diesem speziellen Fall ist dir eine Gruppe $\begin{eqnarray*} G = \mathbb Z \end{eqnarray*}$ und eine Untergruppe $\begin{eqnarray*} U = n \mathbb Z \end{eqnarray*}$ gegeben. Dann ist die Menge aller Linksnebenklassen die Menge $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_n <br /> \end{eqnarray*}$ . Das ist die Menge aller möglichen Reste bei Division durch n wenn man so will.

Schönen Gruß,
DerJoker

05.08.2012, 09:14

Mulder

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RE: Restklassen von Z modulo m
Kleine Ergänzung:

Zitat:

Original von susette
Wie komme ich darauf? (Tschuldigung, statt dem Pfeil sollten es gerade Striche sein - ich wusste nicht wie)
Hat die Menge 7 Elemente, weil m = 7 ist?

Du kannst dir ja überlegen, dass es, wenn eine ganze Zahl durch 7 dividiert wird, sieben verschiedene Reste geben kann - von 0 bis 6 ist alles möglich. Dementsprechend bekommst du deine sieben Restklassen.

Zitat:

Original von susette
Weiter unten steht dann $\begin{eqnarray*} \vec{2} = \left\{ ....., -72, -5, 2, 9, 16, ...\right\} \end{eqnarray*}$

Die -72 liegt allerdings nicht in dieser Restklasse.

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