Parabeltangente und Berührungspunkt

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ErsterAugust2012 Auf diesen Beitrag antworten »
Parabeltangente und Berührungspunkt
Zurzeit repetiere ich für eine weiterführende Schule meine alten Mathematikunterlagen.

Wir haben das Buch: Mathematik I - Algebra für Berufsmaturitätsschule verwendet.

Auf Seite 300/ Aufgabe 130 steht folgendes:


Gegeben ist eine Parabel mit y = ax^2 + bx + c berechne den Berührungspunkt einer Tangente mit der Steigung m an die Parabel.

y=x^2 +3x -2

m1= 1
m2=2

Jetzt meine Frage. Für was könnte m stehen. Beschreiben sie einen x und einen y Punkt auf der Tangente?

Wenn ja, kann ich daraus ja noch nicht die Steigung der Tangente ableiten. Dazu müsste ich 2 x/y der Tangente kennen.


Die weitere Lösung der Aufgabe dürfte kein Problem sein.

Vielen Dank
fleurita Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eine Parabel wird von einer Tangente geschnitten. - Probelm bei der Aufgabenstellung
hey! und stehen einfach für 2 verschiedene steigungen von tangenten, mithilfe derer du jeweils den berührungspunkt bestimmen kannst.

Wie sieht denn eine allgemeine lineare funktion (=tangente) aus und wie kannst du die steigung deiner parabel an jeder stelle bestimmen?
ErsterAugust2012 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank

Da ja auch bei dieser Aufgabe q also der Berührungspunkt der Tangente mit der Y Achse unbekannt ist, muss man diesen zuerst bestimmen.

Ich bin wie folgt vorgegangen


Quadratische Gleichung = 0
Tangentengleichung = 0

Gleichsetzen

Dann habe ich mit -b/2a = x1 bestimmt

Dieses eingesetzt und dann q bestimmt

Dies hat alles funktioniert und ich habe dann auch den richtigen Schnittpunkt erhalten.

Meine Frage ist nun aber noch, wieso hat das funktioniert? Es nützt ja nichts, wenn ich nur weiss das es so geht aber nicht wieso.


Die Formel -b/2a ist ja aus der Mitternachtsformel.

Es muss also dort einen Zusammenhang gegeben.



Liebe Grüsse

1812
fleurita Auf diesen Beitrag antworten »

ich vollzieh nit ganz nach was du gemacht hast.. es ist so, du hast die parabel gegeben.

Die ableitung einer funktion repräsentiert die steigung der funktion an jeder stelle x. Die ableitung hier ist . Für jedes x, das du in die funktion einsetzt, erhälst du die steigung der funktion (der parabel in unserem fall) an der gleichen stelle x.

Ein beispiel: du magst die steigung der parabel an der stelle wissen. Dann setzt du in die ableitung für x die 3 ein und erhältst die steigung der parabel an der stelle 3:



So weit so gut smile . Eine tangente hat die allgemeine form ,wobei die steigung der tangente ist.

berechne den Berührungspunkt einer Tangente mit der Steigung an die Parabel y=x^2 +3x -2 bedeutet nix anderes als: an welcher stlle ist die ableitung der parabel gleich 1. Und diese gefundene stelle dann halt noch in die parabel einsetzen, damit du den berührpunkt raus bekommst.
Thalesman Auf diesen Beitrag antworten »

Fleurita, diese Aufgabe kann auch auf einem anderen Weg gelöst werden, der keine Ableitung erfordert. Die Aufgabe wird dann umformuliert zu: "Welche Gerade mit der Steigung m hat nur 1 Schnittpunkt (=Berührpunkt) mit der Parabel".

Man setzt die Funktionsgleichung der Parabel und die Funktionsgleichung der Tangente gleich und erhält eine quadratische Gleichung. Bedingung für einen Berührpunkt ist, daß es nur eine Lösung gibt, d.h. die Diskriminante den Wert Null hat.

Zur Vereinfachung setze ich entsprechend dem Beispiel in der Aufgabenstellung a=1:




Gleichsetzen zu:






Dieser Ausdruck hat nur dann genau eine Lösung, wenn die Diskriminante den Wert Null hat:




n ist der y-Achsenabschnitt der gesuchten Tangente.
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