Finanzmathematik - Rentenrechnung

05.08.2012, 12:34

Hirogen(CD)

Finanzmathematik - Rentenrechnung

Eigentlich gleich mehrere Probleme es geht im konkreten um 4 Beispiele, wobei ich bei einem Beispiel nicht weiß wie ich ansetzen muss um auf ein entsprechendes Ergebnis zu kommen und beim 4ten Beispiel liegt es wohl an einer Kleinigkeit beim Umformen der Formel die ich nicht beachte bzw. die mir nicht auffällt oder ich mach es falsch traurig

8.) Frau P. ist verpflichtet, 10 vorschüssige Jahresraten zu 700 € zu bezahlen. Sie will stattdessen zwei Jahre nach Fälligkeit der ersten Rate einen einmaligen Betrag zahlen. Wie hoch ist dieser, wenn man eine Verzinsung von i = 5% annimmt?

Mein Ansatz wäre gewesen, zuerst den gesamten Betrag und dann den Betrag der 3 Jahresrenten abzuziehen. Leider kommt da ein falsches Ergebnis raus.

Betrag der 10 Jahre:

$\begin{eqnarray*} 700 * 1,05 * \frac{1.05^{10}-1}{1,05-1} = 9244,75 \end{eqnarray*}$
Betrag der 3 Jahre:

$\begin{eqnarray*} 700 * 1,05 * \frac{1.05^3-1}{1,05-1} = 2317,09 \end{eqnarray*}$

Betrag der 3 Jahre von den 10 Jahren abziehen:

$\begin{eqnarray*} 9244,75 - 2317,09 = 6927,66 \end{eqnarray*}$

Laut Ergebnis sollten es aber 6257,21 sein.

9.)Herr N. muss 20 nachschüssige Quartalsraten zu 300 € zahlen. Er will diese Verpflichtung durch zwei nominell gleichhohe Beträge sofort bzw. in 3 Jahren ablösen. Wie hoch sind diese Beträge? (i = 6%)

Hier weiß ich leider gar nicht wie ich beginnen soll. Zuerst die Quartalsraten ausrechnen und dann aufteilen auf 2 gleich große Beträge? verwirrt

11.) Frau E. will 25 Jahre lang am Beginn jedes Monats einen bestimmten Betrag einzahlen, damit sie danach 18 Jahre lang eine vorschüssige Quartalsrente von 1000 € beziehen kann. Wie hoch müssen die Einzahlungen sein? (i = 3%)

Hier war mein Ansatz, dass ich die 2 Bereiche gleichsetze, da mir nur die Rate des ersten Teilbereichs nicht bekannt ist.

Umrechnen des Jahreszinssatzes auf einen Monats- bzw. Quartalszinssatz:
$\begin{eqnarray*} \sqrt[12]{1,03} = 1,00246 \end{eqnarray*}$ ==> a
$\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{1,03} = 1,00741 \end{eqnarray*}$ ==> b

Die 25 Jahre ohne Rate gegenüberstellen der 18 Jahre mit Rate
$\begin{eqnarray*} R*a* \frac{a^300-1}{a-1} = 1000 * b * \frac{1-b^{-72}}{b-1} \end{eqnarray*}$

Irgendwie hab ich aber das Gefühl dass ich hier am Holzweg bin.

Und beim Letzten Beispiel:
12.)Eine Schuld von 8000 € soll in nachschüssigen Jahresraten zu 1200 € getilgt werden (i = 7,5%).

Wie hoch ist die Restschuld nach 5 Jahren?
Wie viele Vollraten müssen gezahlt werden, und wie groß ist der Restbetrag ein Jahr nach der letzten Vollrate?

Punkt a) war kein Problem:
8000 € inklusive der Zinsen über 5 Jahre ausrechnen.

$\begin{eqnarray*} 8000*1,075^5=11485,03 \end{eqnarray*}$

Danach die Raten über die 5 Jahre ausrechnen.

$\begin{eqnarray*} 1200* \frac{1,075^5-1}{1,075-1} = 6970,69 \end{eqnarray*}$

Nun Subtrahieren:

$\begin{eqnarray*} 11485,03 - 6970,69 = 4514,97 \end{eqnarray*}$

Nachdem ich bei Punkt b) die Gesamtdauer berechnen muss, hatte ich es wie folgt versucht:

$\begin{eqnarray*} 8000*1,075^n = 1000 * \frac{1,075^n-1}{1,075-1} \end{eqnarray*}$

durch 1000 dividieren
$\begin{eqnarray*} \frac{8000*1,075^n}{1000} = \frac{1,075^n-1}{1,075-1} \end{eqnarray*}$

führt zu (kürzen, dividieren, 1,075-1)
$\begin{eqnarray*} 8*1,075^n = \frac{1,075^n-1}{0,075} \end{eqnarray*}$

mit 0,075 mulitplizieren
$\begin{eqnarray*} 8*0,075*1,075^n = 1,075^n-1 \end{eqnarray*}$

führt zu
$\begin{eqnarray*} 0,6*1,075^n = 1,075^n-1 \end{eqnarray*}$

mit 1,075^n dividieren
$\begin{eqnarray*} 0,6= \frac{1,075^n-1}{1,075^n} \end{eqnarray*}$

und jetzt komm ich mit dem Umformen in Richtung n nicht mehr klar... irgendwie hab ich da grad ne Denk blockade, wo wie ich was herum schieben muss damit ich auf mein n komm verwirrt

Quelle: http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/rente.htm (Beispiele 8,9 und 11, 12)

Edit: latex ^{10} und ^{-72} korrigiert

05.08.2012, 13:00

riwe

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RE: Finanzmathematik - Rentenrechnung - n berechnen, einmalige Zahlung nach x-Jahren
aufgabe 1:
die auf den startzeitpunkt abgezinste rente = dem auf denselben zeitpunkt abgeztinbsten barwert, also

$\begin{eqnarray*} \frac{r\cdot q}{q^{10}}\cdot\frac{q^{10}-1}{q-1}=\frac{E}{q^2} \end{eqnarray*}$

05.08.2012, 13:11

Hirogen(CD)

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RE: Finanzmathematik - Rentenrechnung - n berechnen, einmalige Zahlung nach x-Jahren
Ich kann der Ausführung leider nicht folgen traurig

05.08.2012, 14:07

riwe

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RE: Finanzmathematik - Rentenrechnung - n berechnen, einmalige Zahlung nach x-Jahren

Zitat:

Original von Hirogen(CD)
Ich kann der Ausführung leider nicht folgen traurig

geht´s etwas genauer?
was verstehst du denn nicht verwirrt

05.08.2012, 14:29

Hirogen(CD)

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RE: Finanzmathematik - Rentenrechnung - n berechnen, einmalige Zahlung nach x-Jahren
Wie ich es mit der Formel berechnen soll und wie es zu dieser kommt.

05.08.2012, 14:36

adiutor62

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RE: Finanzmathematik - Rentenrechnung - n berechnen, einmalige Zahlung nach x-Jahren
@riwe: Ich mische mich hier kurz ein. Vielleicht hilft es, so wie gestern,
das Problem zu formulieren:

Der Barwert ergibt sich durch Abzinsung des richtig ermittelten Rentenwertes (9244,75) um 10 Jahre. Ersterer muss dann wieder um 2 Jahre aufgezinst werden, weil die Ersatzzahlung (E) erst in 2 Jahren erfolgt. Der Rentenwert wird also effektiv um 8 Jahre abgezinst.

05.08.2012, 14:47

Hirogen(CD)

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RE: Finanzmathematik - Rentenrechnung - n berechnen, einmalige Zahlung nach x-Jahren

Zitat:

Original von adiutor62
@riwe: Ich mische mich hier kurz ein. Vielleicht hilft es, so wie gestern,
das Problem zu formulieren:

Der Barwert ergibt sich durch Abzinsung des richtig ermittelten Rentenwertes (9244,75) um 10 Jahre. Ersterer muss dann wieder um 2 Jahre aufgezinst werden, weil die Ersatzzahlung (E) erst in 2 Jahren erfolgt. Der Rentenwert wird also effektiv um 8 Jahre abgezinst.

Ah danke, jetzt hab ich zumindest verstanden wie ich es ausrechnen kann

$\begin{eqnarray*} 9244,15 * 1.05^{-8} = 6257,21 \end{eqnarray*}$

05.08.2012, 15:04

adiutor62

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RE: Finanzmathematik - Rentenrechnung - n berechnen, einmalige Zahlung nach x-Jahren
Nachtrag:
Es hilft meist, wenn man den Sachverhalt in eigene Wort zu fassen versucht.
Hier z.B. Ich brauche den Rentenbarwert, den muss ich 10 Jahre abzinsen,dann
weiß ich,was ich jetzt sofort zahlen müsste. Da die Sofort(=Ersatz)zahlung aber erst in 2 Jahren beginnt, muss ich diesen Betrag wieder um 2 Jahre aufzinsen.
Dadurch wird das Problem "griffiger", wie ich finde.

05.08.2012, 15:15

Hirogen(CD)

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RE: Finanzmathematik - Rentenrechnung - n berechnen, einmalige Zahlung nach x-Jahren
Finanzmathematik war nie meine Stärke :/ und mit Textbeispielen steh ich leider auch auf Kriegsfuß Big Laugh

und zu den anderen Probleme, gibt es da schon Vorschläge? Engel

05.08.2012, 15:27

adiutor62

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RE: Finanzmathematik - Rentenrechnung - n berechnen, einmalige Zahlung nach x-Jahren
Genauso wie vorhin.
Unterschied: Du muss mit dem Quartalszins (Jahreszins geteilt durch 4) und der Formel für nachschüssige Rentenzahlung arbeiten. Dann im 1 Fall um 20 Quartale abzinsen.
Diesen Betrag für den Fall 2 um 3 Jahre wiederaufzinsen. Pass gut bei den
Zinssätzen/Zinsfaktoren auf !).

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