Stochastik: 10 Paar Socken in der Waschmaschine

05.08.2012, 13:54

Pranvera

Stochastik: 10 Paar Socken in der Waschmaschine

Meine Frage:
hey ich habe hier folgende Aufgabe:
von zehn unterscheidbaren Paar Socken, die in die Waschmaschine gesteckt werden, sind erfahrungsgemäß nach dem Waschgang nur noch 14 einzelne Socken vorhanden. Der Rest wurde von der Waschmaschine gefressen. Welches der folgenden Ereignisse ist dabei wahrscheinlicher:
a) Glücklicherweise sind noch sieben komplette Sockenpaare in der Waschmaschine
b) Leider sind nur noch vier Sockenpaare komplett

Meine Ideen:
ich vermute das ich da mit den Binomealkoeffizienten arbeiten muss?!
also dann 10 über 7 mal 20 über 14 ? da kommt aber eine unrealistische Zahl raus (4651200)

helft mir bitttteeee
lg Pranvera

06.08.2012, 09:40

Huggy

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RE: stochastik
Es bringt nichts, irgendwelche Binomialkoffizienten in den Ring zu werfen. Du musst schon ein Konzept/Modell entwickeln.

Das Problem lässt sich mit der verallgemeinerten hypergeometrischen Verteilung lösen:

http://rosuda.org/lehre/WS06/SemStatSoft...atorikKroll.pdf (Seite 25)

Bei deiner Aufgabe ist die Zahl r der betrachteten Teilmengen aus der Gesamtmenge gleich 10, d. h. jedes Sockenpaar bildet eine solche Teilmenge.

Es sei n die Zahl der noch vorhandenen Paare, e die Zahl der noch vorhandenen Einzelsocken und v die Zahl der ganz verschwundenen Sockenpaare. e und v lassen sich aus n bestimmen. Aus den ursprünglich 10 Paaren sind zunächst die n noch vorhanden Paare auszuwählen. Aus den den verbleibenden 10 - n Paaren sind dann die v verschwundenen Paare auszuwählen oder alternativ die e Paare, von denen jeweils noch eine einzelne Socke da ist. Für jede dieser Auswahlmöglichkeiten lässt sich die Wahrscheinlichkeit mit der verallgemeinerten hypergeometrischen Verteilung angeben. Bei gegebenem n sind diese Wahrscheinlichkeiten alle gleich. Man muss also nur eine berechnen und diese mit der beschriebenen Zahl der Auswahlmöglichkeiten multiplizieren.

06.08.2012, 10:22

Mystic

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RE: stochastik
Ich hätte das Ganze so gesehen, dass man die verschiedenen Möglichkeiten abzählen muss, wie der Koeffizient von $\begin{eqnarray*} x^{14} \end{eqnarray*}$ des Polynoms

$\begin{eqnarray*} (1+x+x^2)^{10} \end{eqnarray*}$

zustanden kommen kann... Hierbei steht die 10 für die Anzahl der Sockenpaare und

$\begin{eqnarray*} x^i, \ i=0,1,2 \end{eqnarray*}$

für die Möglichkeit, keinen, einen bzw. zwei Socken des entsprechenden Paars auszuwählen... Die Gesamtzahl k ist jetzt gar nicht so einfach zu berechnen, wird aber andererseits hier auch gar nicht gebraucht... *) Was man aber braucht, ist in a) die Anzahl der Möglichkeiten, wie man beim Ausmultiplizieren auf $\begin{eqnarray*} x^{14} \end{eqnarray*}$ kommt, wenn man dreimal die 1 und siebenmal x² auswählt... Bei b) muss man dagegen sechsmal x und viermal x² auswählen... Diese einfach zu berechnenden Anzahlen müssen dann verglichen werden, um die Frage im Eingangsposting zu beantworten...

*) Insbesondere komme ich da auf k=2850, also eine andere Zahl, als in dem von Huggy zitierten Link...

06.08.2012, 10:45

HAL 9000

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Ich halte das mit dem

$\begin{eqnarray*} (1+x+x^2)^{10} \end{eqnarray*}$

für falsch: Tatsächlich ist jede Socke (unabhängig von ihrer Paarzugehörigkeit) gleichberechtigt in ihrer Auswahl bei den 14 aus 20. Daher erscheint mir

$\begin{eqnarray*} (1+x)^{20} = (1+2x+x^2)^{10} \end{eqnarray*}$

als die richtige Variante gemäß Laplacescher Wahrscheinlichkeit - wenn man es denn überhaupt auf diesem Weg machen will.

06.08.2012, 10:47

Huggy

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RE: stochastik

Zitat:

Original von Mystic
*) Insbesondere komme ich da auf k=2850, also eine andere Zahl, als in dem von Huggy zitierten Link...

Was vergleichst du da womit? In dem Link gibt es keine speziellen Zahlen. Bezweifelst du die Formel der verallgemeinerten hypergeometrischen Verteilung? Und die verallgemeinerte hypergeometrische Verteilung ist bei meinem Ansatz nur ein Teilfaktor der Lösungsformel.

06.08.2012, 11:03

HAL 9000

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Mit einfachen kombinatorischen Begründungen kommt man übrigens auf Gesamtzahl $\begin{eqnarray*} \binom{20}{14} \end{eqnarray*}$ der Auswahlen sowie die günstige Anzahl

$\begin{eqnarray*} \binom{10}{k}\cdot \binom{10-k}{14-2k}\cdot 2^{14-2k} \end{eqnarray*}$

für genau $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ komplette Sockenpaare ( $\begin{eqnarray*} k=4,5,6,7 \end{eqnarray*}$ ).

06.08.2012, 11:10

Huggy

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Das ergibt sich auch auf meinem Weg. Allerdings wollte ich dem Fragesteller Gelegenheit geben, selbst noch etwas beizutragen.

06.08.2012, 11:17

HAL 9000

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Den Faktor $\begin{eqnarray*} 2^{14-2k} \end{eqnarray*}$ konnte ich in deinen Betrachtungen via verallgemeinerter hypergeometrischer Verteilung nur schlecht erkennen.

06.08.2012, 11:25

Huggy

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Der ergibt sich aus dem Faktor $\begin{eqnarray*} \binom 2 1 \end{eqnarray*}$ für die Auswahl einer Socke aus einem Paar im Zähler der verallgemeinerten hypergeometrischen Verteilung und der Vielfachheit, mit der dieser Faktor vorkommt. Die Vielfachheit ist die Zahl der Einzelsocken und die ist ja $\begin{eqnarray*} 14-2k \end{eqnarray*}$ .

06.08.2012, 13:02

Mystic

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Ja, das war oben - umständehalber - ein Schnellschuss, bei dem ich mich leider ziemlich vertan habe... unglücklich

Nachdem durch HAL und Huggy inzwischen dazu auch alles gesagt wurde, was es zu sagen gibt, erübrigt sich auch eine Korrektur meinerseits...

10.08.2012, 23:42

Pranvera

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ok ich wollte eigentlich kein zündstoff für ein streitgespräch liefern Big Laugh

also mit der hypergeometrischen verteilung bin ich jetzt mittlerweile auch einverstanden.... jedoch weiß ich nicht wann ich diese anwende.. was sind Indikatoren für das Anwenden dieser verteilung????
lg

11.08.2012, 09:35

Huggy

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Zitat:

Original von Pranvera
ok ich wollte eigentlich kein zündstoff für ein streitgespräch liefern Big Laugh

Das war doch nur ein freundschaftlicher Meinungsaustausch.

Zitat:

Man hat eine endliche Menge M von Objekten, aus der eine Teilmenge Z ohne Zurücklegen gezogen wird. Die Ursprungsmenge M sei in $\begin{eqnarray*} r \geq 2 \end{eqnarray*}$ disjunkte Teilmengen $\begin{eqnarray*} T_i \end{eqnarray*}$ unterteilt. Dann beantwortet die verallgemeinerte hypergeometrische Verteilung die Frage, mit welcher Wahrscheinlichkeit die gezogene Menge Z genau $\begin{eqnarray*} t_i \end{eqnarray*}$ Elemente aus den Mengen $\begin{eqnarray*} T_i \end{eqnarray*}$ enthält. Bei $\begin{eqnarray*} r=2 \end{eqnarray*}$ hat man die gewöhnliche hypergeometrische Verteilung.

Immer, wenn man ein Problem oder Teilproblem auf dieses Modell abbilden kann, kann man die hypergeometrische Verteilung verwenden.

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