Rekursiv definierte Folge

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bruno2 Auf diesen Beitrag antworten »
Rekursiv definierte Folge
hi,

ich hab die rekurs. def. folge ; für n>=1.
und möchte den grenzwert und die monotonie zeigen. ich würde mich freuen, wenn ihr da mal drüberschauen könntet, ob das alles korrekt ist.

zur monotonie hab ich mir folgendes überlegt:

die folge ist mon. fallend.

IA: n=0:

IV: gelte für ein beliebiges n aus N.

IS: n -> n+1:
=

und da

ist . ENDE



nun zum grenzwert:

konvergiert die folge gegen den grenzwert a, so konvergieren alle folgenglieder ebenfalls gegen den wert a. also:





also konvergiert die folge gegen 2.

stimmt das alles bis hier?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: rekursiv definierte folge
Zitat:
Original von bruno2
IV: gelte für ein beliebiges n aus N.

IS: n -> n+1:
=

und da

ist

Das ist - milde ausgedrückt - sehr mißverständlich... Was du brauchst im Beweis ist die Induktionsvoraussetzung



und das nicht für ein beliebiges n, sondern für ein festes ... Der Rest ist aber ok... Freude
bruno2 Auf diesen Beitrag antworten »

danke für deine antwort.

1) ich versteh deine kritik nur nicht ganz: ist nicht gleichbedeutend mit ?

was mri selbst noch aufgefallen ist: muss man, um den grenzwert zu sichern, nicht noch zeigen, dass die folge nach unten beschränkt ist? in etwa so?
2)
vermutung: die folge ist z.B. durch 0 nach unten beschränkt:

IA: n=0: 42>=0 passt.
IV:
IS: n-> n+1: da
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von bruno2
danke für deine antwort.

1) ich versteh deine kritik nur nicht ganz: ist nicht gleichbedeutend mit ?

was mri selbst noch aufgefallen ist: muss man, um den grenzwert zu sichern, nicht noch zeigen, dass die folge nach unten beschränkt ist? in etwa so?
2)
vermutung: die folge ist z.B. durch 0 nach unten beschränkt:

IA: n=0: 42>=0 passt.
IV:
IS: n-> n+1: da

ad 1) Schau dir deinen Induktionsschluss noch einmal genau an: Du verwendest hier, dass gilt



und beweist, dann dass daraus folgt



wohlgemerkt alles für ein festes n >0 ...

ad 2) Ja, ich hielt das für selbstverständlich, dass die Folge nur nichtnegative Werte liefert und daher duch 0 nach unten beschränkt ist, aber es stimmt schon, dass man das noch dazu sagen sollte...
bruno2 Auf diesen Beitrag antworten »

danke für die antwort.
1)
aber ich versteh nicht ganz, was falsch ist. kann ich nicht sagen, dass wenn

gilt,

dass dann auch

gelten muss?


2) wenn IV stehen würde: wäre alles in ordnung?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

ad 1) Es gilt zwar



das ist trivialerweise richtig, aber nicht



für ein festes n>0... Im Induktionsschluss wird aber immer mit einem festen n gearbeitet, von dem man allerdings nur voraussetzen muss, dass es mindestens so groß ist wie das n, für welches der Induktionsanfang bewiesen wurde... Es ist für das Verständnis eines Induktionsbeweises sehr wichtig, dass du diese Dinge wirklich sauber auseinanderhältst...

ad 2) Ja, und auch der Induktionsanfang sollte dahingehend abgeändert werden...

Hier noch eine alternative Lösung, wie ich selbst das rechnen würde... Dazu bestimmt man zuerst den Grenzwert 2, unter der Voraussetzung dass die Folge konvergiert, genau wie du das gemacht hast... Erst anschließend beweist man dann auch die Konvergenz, indem man für die Differenzfolge die Rekursion



aufstellt, aus der unmittelbar hervorgeht, dass eine Nullfolge ist...
 
 
bruno2 Auf diesen Beitrag antworten »

ok, vielen dank für deine hilfe. ich werds wohl noch etwas üben müssen böse
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