Hypothesentest, Prämie

05.08.2012, 17:26

Gast11022013

Hypothesentest, Prämie

Meine Frage:
Hi,

ich stecke gerade in der Vorbereitung für das kommende Schuljahr und möchte das Thema Hypothesentest auffrischen. Dabei habe ich glaubig noch größere Lücken.

Wäre nett wenn jemand mal hier drüber gucken kann.

Aufgabe:

In einem Betrieb, der Leuchtstoffröhren erstellt, ist bekannt, dass etwas ein Fünftel der gefertigten Leuchtstoffröhren eine Brenndauer von weniger als 4000 Stunden hat. Der Ingenieur des Betriebs behauptet, dass er durch Verbesserung innerhalb des Produktionsprozesses die Qualität steigern könnte. Die Betriebsleitung stellt für eine Qualitätssteigerung eine Prämie in Aussicht und hält die Qualitätssteigerung für erwiesen, wenn in einer Stichprobe von 50 Leuchtstoffröhren höchstens 5 eine Brenndauer von weniger als 4000 Stunden haben. Prüfen Sie, welche Irrtumswahrscheinlichkeit die Betriebsleitung bei der Prämienvergabe in Kauf nimmt.

Meine Ideen:

$\begin{eqnarray*} n=50 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p=0,2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k\leq 5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha=x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} H_0: p\geq 0,2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} H_1: p< 0,2 \end{eqnarray*}$

Es ist ein linksseitiger Test. Nun muss ich in meiner Tabelle bei k=5 ablesen und habe die Irrtumswahrscheinlichkeit.

$\begin{eqnarray*} P(X\leq 5)\leq \alpha \alpha=0,4275 \alpha=P(\overline{A}) \overline{A}=\{0,...,5\} \end{eqnarray*}$

Ist das soweit korrekt?
Am schwersten tue ich mich dabei die $\begin{eqnarray*} H_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} H_1 \end{eqnarray*}$ Hypothese zu formulieren. Öfters vertausche ich beides.
Meine Werte müsst ihr nicht bestätigen. Ich denke nicht jeder hat eine kumulierte Wahrscheinlichkeistabelle zuhause. Augenzwinkern

Wenn bei meinem Vorgehen jedoch etwas falsch ist bitte sagen. Auch wenn etwas in der Notation nicht stimmt, oder verbesserungswürdig ist.

Vielen Dank im Voraus.

Mfg

06.08.2012, 11:42

Zellerli

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Meistens ist die Nullhypothese der "Normalzustand".
Wenn einer daher kommt und sagt er verbessert etwas, ist die Nullhypothese der bisherige Zustand.
Wenn einer daher kommt und sagt, da besteht ein Unterschied zwischen den beiden Populationen, ist die Nullhypothese, dass kein Unterschied besteht.

Dementsprechend sollte hier die Nullhypothese der bisherige Zustand sein und das hast du richtig umgesetzt.

Nun muss man unter Annahme der Nullhypothese die Wahrscheinlichkeit für ein zur Alternativhypothese führendes Testergebnis berechnen. Das ist der Fehler 1. Art (also $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ).

Was ist denn dein Ereginis $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ? Definition immer mit angeben!
Deine Wahrscheinlichkeit erscheint mir falsch. Ich komme auf einen viel kleineren Wert.

Mir kommt es so vor, als würdest du eine neue Entscheidungsregel aufstellen wollen. Aber die ist doch bereits gegeben! Du sollst ausrechnen, wie groß ihr Fehler 1. Art (also $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ) ist.

06.08.2012, 16:08

Gast11022013

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Mein $\begin{eqnarray*} \overline{A} \end{eqnarray*}$ sollte den Ablehnungsbereich darstellen.

Dann habe ich in meiner n=100 Tabelle den Wert für k=5 abgelesen und erhalte das oben genannte Ergebnis.

Welchen Wert erhältst du den?

Mir erschien diese Irrtumswahrscheinlichkeit von beinahe 50% auch viel zu groß.

Edit:

Zitat:

Wenn einer daher kommt und sagt, da besteht ein Unterschied zwischen den beiden Populationen, ist die Nullhypothese, dass kein Unterschied besteht.

Meinst du damit einen zweiseitigen Hypothesentest?

07.08.2012, 00:32

Zellerli

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Ja, das Beispiel ging um einen zweiseitigen. Ich wollte nur klar machen, dass die Nullhypothese den Ausgangszustand darstellt.

Versuch dich ein Stück weit von den Begriffen zu lösen und feste Schemata anzuwenden.
Notier dir stattdessen genau was gegeben, was gesucht ist. Überleg dir dann ein Modell oder gehe den Sachverhalt direkt durch.

Zitat:

Dann habe ich in meiner n=100 Tabelle den Wert für k=5 abgelesen und erhalte das oben genannte Ergebnis.

Ich nehme stark an du meinst $\begin{eqnarray*} n=50 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k \leq 5 \end{eqnarray*}$ , sonst beschreibst du ohnehin einen anderen Sachverhalt Augenzwinkern

Nochmal, um alles klarzustellen:

Momentan haben 20% der Leuchstoffröhren unter 40.000 Betriebsstunden Laufzeit. ( $\begin{eqnarray*} H_0:p=0,2 \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} H_0:p\geq 0,2 \end{eqnarray*}$ geht auch).
Die Firma sagt, wenn unter 50 Leuchtstoffröhren, die mit dem neuen Verfahren hergestellt werden, höchstens 5 mit weniger als 40.000 Betriebsstunden sind, dann kauft sie dem Ingenieur die Verbesserung ab ( $\begin{eqnarray*} H_1:p<0,2 \end{eqnarray*}$ ).
Wenn dieser Test positiv ausfällt (Firma entscheidet sich für $\begin{eqnarray*} H_1 \end{eqnarray*}$ ), obwohl der Anteil sich nicht geändert hat ( $\begin{eqnarray*} H_0 \end{eqnarray*}$ liegt vor), ist das ein Fehler erster Art oder auch Alpha-Fehler.

Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ für dieses Ereignis.
Dein Ansatz $\begin{eqnarray*} P(X\leq 5)\leq \alpha \end{eqnarray*}$ ist nicht ganz richtig. Eine Antwort wäre sofort $\begin{eqnarray*} \alpha=1 \end{eqnarray*}$ (da das für alle Wahrscheinlichkeiten gilt).
Es muss ein Gleichheitszeichen dorthin!

Wenn man eine Entscheidungsregel festlegen will, geht man meistens mit dem $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ vor, da dann $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ eine gewisse Grenze nicht überschreiten soll. Hier ist die Entscheidungsregel allerdings schon vorhanden (du hast den Ablehnungsbereich ja schon richtig erkannt und benannt) und man will die Irrtumswahrscheinlichkeit.

07.08.2012, 00:37

Gast11022013

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Zitat:

Original von Zellerli
Ich nehme stark an du meinst $\begin{eqnarray*} n=50 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k \leq 5 \end{eqnarray*}$ , sonst beschreibst du ohnehin einen anderen Sachverhalt Augenzwinkern

Hmmmm dummer Fehler von mir. Ich habe tatsächlich in der n=100 Tabelle abgelesen und nicht aus der n=50 Tabelle.

$\begin{eqnarray*} P(X\leq 5) = \alpha \alpha=0,0480 \end{eqnarray*}$

Ich denke so sollte es richtig sein.

07.08.2012, 10:00

Zellerli

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07.08.2012, 17:39

Gast11022013

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Danke für deine Hilfe. Freude

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