Rekursiv definierte Folge II

05.08.2012, 18:18

bruno2

Rekursiv definierte Folge II

ich übe gerade den umgang mit rekursiven folgen. wäre nett, wenn jemand über die folgende aufgabe schauen und mir ein feedback geben könnte!

$\begin{eqnarray*} a_{0} = \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} a_{n} = (a_{n-1})^2 +\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$

monotonie:

die folge ist vermutlich monoton steigend.

IA: n=0: $\begin{eqnarray*} a_{1} -a_{0} = \frac{5}{16} -\frac{1}{4} \geq 0 \end{eqnarray*}$ stimmt.
IV: $\begin{eqnarray*} a_{n} -a_{n-1} \geq 0 \end{eqnarray*}$
IS: n->n+1: $\begin{eqnarray*} a_{n+1} -a_{n}=(a_{n} ^2+\frac{1}{4})-(a_{n-1}^2+\frac{1}{4})= a_{n}^2 -a_{n-1}^2 \geq 0 \end{eqnarray*}$

beschränktheit: die folge ist vermutlich durch 1/2 nach oben beschränkt.

IA: n=0: 1/4 <=1/2 passt
IV: $\begin{eqnarray*} a_{n} =a_{n-1}^2+\frac{1}{4} \leq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
IS: n->n+1: $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=a_{n}^2 +\frac{1}{4} \leq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

grenzwert :

a=a^2+1/4
(a-1/2)^2=0
a=1/2

würde das alles so passen?

05.08.2012, 19:20

TommyAngelo

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Ja, sollte passen. Du kannst die Monotonie aber auch direkt zeigen, nämlich so:

$\begin{eqnarray*} a_n-a_{n-1}=a_{n-1}^2+\frac14-a_{n-1}=\left(a_{n-1}-\frac12\right)^2\geq0 \end{eqnarray*}$

05.08.2012, 19:40

Helferlein

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RE: rekursiv definierte folge II
Eine Stelle ist meiner Meinung nach noch unsauber:

Zitat:

Original von bruno2
... $\begin{eqnarray*} a_{n}^2 -a_{n-1}^2 \geq 0 ... \end{eqnarray*}$

Warum kanst Du zum Beispiel $\begin{eqnarray*} a_n=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{n-1}=-2 \end{eqnarray*}$ ausschließen?
Es fehlt ein kleiner, aber doch wichtiger Hinweis.

05.08.2012, 19:59

bruno2

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danke!

edit: -2 geht ja nicht, da in der rekursionsvorschrift ja nur die verknüpfung von addition und quadrieren vorkommt.

05.08.2012, 20:56

Helferlein

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Genau deshalb ist $\begin{eqnarray*} a_n \geq \frac14>0 \end{eqnarray*}$ und Deine Argumentation korrekt.
Es muss aber erwähnt werden, denn sonst sieht es so aus, als hättest Du Dir darüber keine Gedanken gemacht.

06.08.2012, 11:33

bruno2

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danke für deine antwort.

wieso muss das denn extra erwähnt werden? die folge beginnt doch bei 1/4, ich hab gezeigt, dass sie monoton steigend ist, und dass der grenzwert 1/2 ist. also kommen doch keinen negativen zahlen in frage, oder?

06.08.2012, 20:36

Helferlein

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Du benutzt bei dem Beweis der Monotonie aber die Tatsache, dass die Folge positiv ist und das hast Du zu dem Zeitpunkt noch nicht bewiesen.
Daher musst Du schon noch erwähnen, warum es so ist, denn sonst ist dein Monotoniebeweis falsch.

06.08.2012, 20:48

bruno2

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du meinst, wenn ich den beweis der beschränktheit vor dem monotoniebeweis geführt hätte, dann müsste man dies nicht extra erwähnen?

06.08.2012, 21:23

Helferlein

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RE: rekursiv definierte folge II
Nein, das meine ich nicht. Um es noch einmal zu verdeutlichen:
Du behauptest in deinem Monotoniebeweise, dass

Zitat:

Original von bruno2
... $\begin{eqnarray*} a_{n}^2 -a_{n-1}^2 \geq 0 ... \end{eqnarray*}$

Das ist aber nur dann richtig, wenn $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{n-1} \end{eqnarray*}$ positiv sind, da ansonsten aus der Induktionsvoraussetzung nur $\begin{eqnarray*} a_{n}>a_{n-1} \end{eqnarray*}$ bekannt ist, was bei negativen $\begin{eqnarray*} a_{n-1} \end{eqnarray*}$ eben nicht zur gewünschten Aussage führen würde. Du musst also klarstellen, weshalb diese Konstellation unmöglich ist (Nämlich so wie oben).
Die Beschränktheit nach oben hilft da nicht weiter, so dass ein Vorziehen das Problem nicht löst.

07.08.2012, 00:20

bruno2

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ah ok. vielen dank für die hilfe! Freude

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