Berechne: E(exp(X)) X Poissonverteilung

31.01.2007, 19:28	lilalila	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechne: E(exp(X)) X Poissonverteilung Hallo zusamenn, habe ein diskrete Zufallsvariable X die poisson(a)-verteilt ist, also zähldichte $\begin{eqnarray} p(X=k)=exp(-a)a^{k}\frac{1}{k!} \end{eqnarray}$ E(X) =a Wie berechne ich nun E(exp(X))? Meine idee (keine gewähr darauf): E(exp(x))) = $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty ~exp(k)P(X=k) \end{eqnarray}$ funktioniert das so überhaupt wenn ich die reihe $\begin{eqnarray} exp(-a)\sum_{k=1}^\infty ~exp(k)a^{k} \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$ bilde komme ich niht weiter. bzw weiß nicht wie ich den reihenwert ausrechnen soll. wer kann mir helfen? lieben dank :-)
31.01.2007, 21:06	Gast_47	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \operatorname{E}(X) =\sum_{k=0}^{\infty}k\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} = \lambda e^{-\lambda}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!} = \lambda e^{-\lambda}\sum_{j=0}^{\infty}\frac{\lambda^{j}}{j!} = \lambda \end{eqnarray}$ http://de.wikipedia.org/wiki/Poissonvert...rianz.2C_Moment $\begin{eqnarray} e^x = \exp(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \ldots \end{eqnarray}$
31.01.2007, 21:14	lilalila	Auf diesen Beitrag antworten »
ja. soweit so gut, das bei wikipedia bringt mich aber nicht weiter. (dein lambda entspricht bei mir dem a) ich hab in der reihe ja exp(k) nicht k alleine. was du gezeigt hast ist ja E(X) ich brauche allerdings E(exp(X)), wobei X exponentialverteilt ist
31.01.2007, 21:23	lilalila	Auf diesen Beitrag antworten »
ach quatsch poisson verteilt anstelle exponential verteilt gehört in den vorherigen beitrag
01.02.2007, 00:08	Gast_47	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{\infty}~\frac{e^k a^k}{k!}= \sum_{k=0}^{\infty}~\frac{(ea)^k}{k!}= e^{ea} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e^{-a}e^{ea} = e^{a(e-1)} \end{eqnarray}$
01.02.2007, 02:10	lilalila	Auf diesen Beitrag antworten »
ja genau... stimmt so leicht kanns gehen. was mich noch interessiert ist, ob das überhaupt richtig ist wenn man bei diskreten zufallsvariablen so vorgehendarf: $\begin{eqnarray} E(f(X)) = \sum_{k=1}^ \infty ~f(k)P(X=k) \end{eqnarray*}$ bzw welche voraussetzungen an f gestellt werden müssen
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01.02.2007, 07:02	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Voraussetzung bestehen hier eher an $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ : Diese Zufallsgröße darf nur positive ganze Zahlen annehmen, falls man diese Formel anwenden will. Voraussetzung an $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ? Keine! Allerdings muss die rechts stehende Reihe absolut konvergieren, andernfalls existiert der links stehende Erwartungswert $\begin{eqnarray} E(f(X)) \end{eqnarray}$ nicht.

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