Gleichung mit Potenzen

Neue Frage »

Itziitz Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichung mit Potenzen
Meine Frage:
Aufgabe:

2^x-1 - 6*2^-x+1 +1=?

Meine Ideen:
Ich habe als erstes versucht, die Gleichung bzw. die Potenzen umzuschreiben:

2^x/2^-1 - 6* (2^-x * 2^1) + 1 = ?

jetzt müsste ich ja z=2^x ersetzen.

z/2 - 6* (z^-1 *2*1) + 1 =? dann *2

ok glaub nicht, dass es soweit richtig ist... aber will ja zur pq-formel
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte Klammern setzen!

Gemeint ist nämlich wohl: 2^(x-1) - 6*2^(-x+1) +1=?


2^x/2^-1 - 6* (2^-x * 2^1) + 1 = ?

Das ist falsch.



Es stellt sich erst mal die Frage, was für eine Gleichung das überhaupt ist, sprich
was steht auf der rechten Seite? 0?
 
 
Itziitz Auf diesen Beitrag antworten »

Ja 0... also x-1 steht zusammen im Exponent von Basis 2

2^(x-1)
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Also:
2^(x-1) - 6*2^(-x+1) +1=0


Dann ist das hier schonmal richtig: z/2 - 6* (z^(-1) *2^1) + 1 =0
Auch wenn beim Zwischenschritt noch das Minus mit reingerutscht war Augenzwinkern .



z^(-1)=1/z -> Multipliziere also deine Gleichung mit z smile .
Dann klar?
Itziitz Auf diesen Beitrag antworten »

Warum mal z?

Habe jetzt so:

z/2 - 6* (1/z *z) +1 =0

Was ist denn 1/z*z ? z?

z/2 - 6z + 1 = 0 dann *2

z - 12z + 2 = 0 dann *z

z^2 - 12z^2 + 2z = 0

-11z^2 + 2z = 0 | *-1

11z^2 - 2z = 0 verwirrt
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Wo kommt denn das 1/z*z her?

Du hattest mir doch gesagt, dass 2^(-1) das gleiche ist wie 1/2. Das gilt natürlich auch
für z^(-1) Augenzwinkern .

z/2 - 6* (z^(-1) *2^1) + 1 =0
=z/2 - 6* (1/z*2^1) + 1 =0

bzw. schöner aufgeschrieben:

Itziitz Auf diesen Beitrag antworten »

[/quote]

wenn ich jetzt auflöse:

z/2 - 6* (z) + 1 = 0

z/2 - 6z + 1 = 0 | *2

z - 12z + 2 = 0

-11z + 2 = 0

sry bin nicht wirklich top in mathe :-)
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Bisher hatte es doch super angefangen Augenzwinkern .

Wie du aber darauf kommst, dass

ist, musst du mir noch erklären!!!

Das lässt sich so nicht vereinfachen. Deshalb multipliziere die ganze Gleichung mit z,
damit das z aus dem Nenner verschwindet! Augenzwinkern
Itziitz Auf diesen Beitrag antworten »

jo erstma danke für die hilfe voll korrekt :-)

1/z * 2 = z

Dachte 1/z ist wie 1/2, sprich ein halbes z und *2 wäre es ja ein ganzes z :-P
Sobald Brüche ins Spiel kommen, bin ich raus :-S

ok nehme jetzt *z

z/2*z - 6*(2) + 1 = 0

z/2*z - 12 + 1 = 0

z/2*2 - 11 = 0 ?

oder hätte ich die 6 auch mit z nehmen müssen? dann so:

z/2*z - (6z * 2) + 1 = 0

z/2*z - 12z + 1 = 0

Was sind denn z/2*z =? z^2/2 ?

z^2-24+2=0 => so ?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte es verhält sich wie 1/2 und nicht dass 1/2=1/z! Augenzwinkern


Zitat:
ok nehme jetzt *z


Dann bitte mit jedem Summanden! Wenn du eine Gleichung mit etwas multiplizierst,
dann immer jeden Summanden!



-> ???

Probiers nochmals Augenzwinkern .
Itziitz Auf diesen Beitrag antworten »

z/2*z - 12z^2 + 1z = 0 =>so?

z/2*z sind z^2/2 ?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Fast richtig Freude .

Zitat:
z/2*z sind z^2/2 ?

Das ist ganz richtig Freude .




Du konntest mir folgen? smile
Ich hab hier grad den mittleren Summanden mit z multipliziert.
Itziitz Auf diesen Beitrag antworten »

hm ok.. folgen schon dachte aber das man ja mit z mal nimmt, damit 1/z wegfällt..
jetzt wurde hier der Klammerausdruck gar nicht mit z mal genommen sondern nur die 6 davor.

weil wenn ich jeden summanden mit z nehme dann wäre doch der ausdruck

6*(1/z*2) => 6z*(1*2z) und das sind 6z*2z also 12z^2... so bekommst du ja jetzt nur 12 raus, weil du die z's verkürzt.

und jetzt ist die gleichung

z^2/2 + 12 + 1 = 0 ?? |*2

=> z^2 + 26 = 0
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Du solltest dir nochmals schnell ins Gedächtnis rufen, was ein Summand ist! Augenzwinkern
Ein Summand ist in unserem Fall salopp gesagt, alles was zwischen Pluszeichen steht, bzw. zwischen einem Pluszeichen und dem Rand.



Der mittlere Summand wird also mit z multipliziert:


Dass ich dann das z erst mit der 6 zusammengetan habe ist dabei egal. Du darfst ja die
Reihenfolge der Faktoren beliebig vertauschen. Du erinnerst dich? smile



Da fehlt noch das z im letzten Summanden. Außerdem hast du das Minus vor der 12 ignoriert Augenzwinkern .
z^2/2 - 12 + 1*z = 0 |*2
Itziitz Auf diesen Beitrag antworten »

ok chef :-)

z^2 + 2z - 24 = 0

dann pq-formel

-2/2 +- wurzel 25

also -1 + 5 = 4
und -1 - 5 = -6

hast du es auch raus?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Yup das hab ich auch, junger Schüler^^ Freude .

Was fängst du mit dem Ergebnis nun an verwirrt Augenzwinkern .
Itziitz Auf diesen Beitrag antworten »

Ich soll nur noch das Ergebnis mal 3 nehmen. als Ergebnis kommt dann 6 raus..

doch 4*3 sind 12 und -6*3 sind -18... ah warte man muss ja jetzt das z wieder zurück dings bums :P

also kommt nicht 4 raus sondern 2 raus und 2 * 3 = 6 smile
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin nicht sicher, ob ich dir richtig folgen kann.
Also du hast richtig erkannt, dass wir noch nicht fertig sind.
Und ja, richtig hast du erkannt, dass wir "zuück dings bums" (auf hochdeutsch auch
rücksubstituieren^^) müssen.

Wie hast du das gleich gemacht?
Dass nicht 4, sondern 2 rauskommt, also x=2 Lösung unserer Gleichung ist, ist richtig.
Was aber willst du mit der 6 sagen? Was ist mit unserem anderen Ergebnis z=-6? Augenzwinkern
Itziitz Auf diesen Beitrag antworten »

Es soll als Ergebnis 6 raus kommen. Das ist festgelegt.
Mithilfe der PQ-Formel hatten wir ja zwei Werte. 4 und -6.

hatten wir nicht irgendwo festgelegt was z ist? z haben wir ja substituiert oder?
muss die Aufgabe eh nochmal abschreiben und durchgehen :-)

Z=4 und substituieren x=2

und 2*3=6

Das zweite Ergebnis -6 .. weiß nicht ... ist nicht im Definitionsbereich? Ne kp.
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

1. Wie kommst du auf 2*3=6? Das stimmt, ja^^, aber wie kommst du drauf?


2. Wie kommst du von z=4 auf x=2? Probier das mal mit z=-6 auf x=?. Geht das?



3. Nein. x=6 ist nicht Lösung unserer Gleichung.
Mach die Probe! Augenzwinkern

2^(x-1) - 6*2^(-x+1) +1=0 -> Setz da mal x=2 ein und x=6. Was kommt raus?
Itziitz Auf diesen Beitrag antworten »

Ja wenn z=x^2 ist dann muss man ja für rücksubstituieren das ergebnis wieder zruück bilden.

bsp: ergebnis Z=9 und z war Ersatz für x^2 dann rücksubstituieren x=3
also ich gehe mal davon aus das du rücksubstituieren kannst. aber nicht weißt wie ich es bei der aufgabe gemacht habe? eigentlich genau so

ergebnis war ja 4 und z wurde doch auch für x^2 verwendet oder? dann kommt ja 2 raus.
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Das aber ist nicht richtig.

Wir hatten doch die Substitution: 2^x=z...
Wir wissen nun, dass unter anderem 2^x=4 ist und interessieren uns nun für das x.
Zufälligerweise ist auch hier das Ergebnis x=2, aber was du gemacht hattest, ist falsch.

Du weißt wie man von 2^x=4 auf x kommt?
Itziitz Auf diesen Beitrag antworten »

ja ist zufällig auch 2 smile jetzt verstehe ich was du meintest.

und das zweite ergebnis -6 kann man einfach weglassen?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
und das zweite ergebnis -6 kann man einfach weglassen?


Mit Begründung: Ja. Diese lautet? Augenzwinkern
Itziitz Auf diesen Beitrag antworten »

Hat bestimmt was mit Definitionsbereich zu tun oder?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Ja prinzipiell schon Augenzwinkern .

Wir haben doch eine Potenzfunktion 2^x die negative Werte annehmen soll -> -6.
Eine Potenzfunktion ist aber immer positiv. Negative Werte sind also nicht im Wertebereich
enthalten.

Bzw. mit dem Definitionsbereich argumentiert:
2^x=-6 |ln anwenden
x*ln(2)=ln(-6)

ln(-6) verletzt den Defintionsbereich des Logarithmus'.



Also nochmals eine kurze Zusammenfassung der übersicht halber Augenzwinkern .

Gegeben:
2^(x-1) - 6*2^(-x+1) +1=0

Substitution mit 2^x=z.
Aus entstehender pq-Formel folgende Lösungen: z=4 und z=-6.

Resubstitution: 2^x=4 -> x=2
z=-6 kann nicht resubstituiert werden und x=2 ist einzige Lösung unserer Gleichung smile .


Klar?
Itziitz Auf diesen Beitrag antworten »

Yo! DANKE! :-) hast du mathe studiert? jetzt sag nicht du bist schüler :-P
top arbeit... krass ein halben Tag für eine Aufgabe :-) aber hat was gebracht ,-)
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, Mathe studiere ich nicht. Aber wenns dich beruhigt. Schüler bin ich auch nicht mehr Augenzwinkern .


Freut mich, wenn ich helfen konnte smile .
Itziitz Auf diesen Beitrag antworten »

eh habe jetzt eine ähnliche aufgabe aber ich habe das prinzip verstanden!

hier die aufgabe:

2^(x) - 6*2^(-x)+1=0

Ich habe sofort die 2^x mit z ersetzt.

z - 6 * z^(-1) + 1 = 0

z^(-1) ist ja nichts anderes als z/1 oder? :-)
Dann würde ich in der nächsten Zeile:

z - 6 * (z/1) + 1 = 0 |*1

einfach mal 1 nehmen dann steht dort:

z - 6z + 1 aber dass passt ja nicht. oder ist z^(-1) = z/z ?

dann würde ich mal z nehmen:

z - 6 * (z/z) + 1 = 0 |*z

und es kommt raus:

z^2 - 6z + z = 0

dann pq-Formel:

+ 6/2 +- Wurzel aus ((6/2)^2) - 1

aber 36/4-4/4 = 32/4 und daraus die Wurzel?? aus 8 die Wurzel oder was.. oder *2 erweitern

dann 64/4 daraus ist die wurzel ja 8/2 also 4

dann

+3 +- 4 = x1= 7
x2 = -1

z = -1
z= 2^x
x = 1 ??
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,


Versuch von da weg das Ganze noch Mal

Lg
kgV
Wink

@Equester: Wenn du wieder da bist, kannst du gerne übernehmen smile
Itziitz Auf diesen Beitrag antworten »

ok also

z - 6*z^(-1) +1 =0

z - 6* (1/z) + 1 = 0 | *z

Nbr.: 6* (1/z)*z = 6z * (1/z) = 6z/z = 6

z^2 - 6 + 1 = 0

z^2 - 5 = 0 ?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Morgen ihr zwei Augenzwinkern .

Warum wird der Summand 1 nicht mit z multipliziert?
Die ersten beiden Summanden sind aber richtig Freude .
Itziitz Auf diesen Beitrag antworten »

ahh verdammt.. jetzt hatte ich mich wohl zu sehr auf dem mittleren teil mit der 6 konzentriert. :-)

klar dann kommt raus:

z^2 - 6 + z = 0 bzw z^2 + z -6 = 0

nach pq-Formel dann:

1/2 +- 5/2

x1 = 6/2 also 3
x2 = -4/2 also -2

z = 3
z war 2^x
dann ist x .. 1, irgendwas ? Big Laugh
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Du solltest nochmals schnell deine pq-Formel überprüfen.
Da stimmen die Vorzeichen nicht.
Es ist nicht 1/2, sondern -1/2 Augenzwinkern .
Itziitz Auf diesen Beitrag antworten »

oh stimmt.

also dann 2 und -3

z = 3
z war 2^x
x ist dann 1 :-) und -3 kann man weglassen weil, eine Potenzfkt nicht negativ sein kann bzw. genau wie der Log. :-P

gut gut heute ja weniger Zeit gebraucht! :-)

Aber muss da nachhaken:

a) z^-1 ist 1/z das verstehe ich ehrlich gesagt nicht.

Ich hätte jetzt gedacht, dass es z/z^1 ist da sonst auch der negative Exponent im Nenner ist. Wie

2^(x-1) => 2^x/2^-1

b)

Warum ist z/x * z = z^2/x ??

Weil es quasi eine Erweiterung ist wie 4/6 *3 ist ja 12/6... gleiche Regel?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst hier wohl:

z = 3
z war 2^x

das hier:
z=2
z=2^x=2 -> x=1

Augenzwinkern .


Sonst aber richtig.

---------------
Das solltest du einfach als Fakt aufnehmen, dass z^(-1)=1/z ist.
Potenzgesetze.

Hier kann man das auch anwenden:
2^(x-1) =2^(x+(-1))=2^x*2^(-1)= 2^x/2^1

(Deins war übrigens falsch:
2^(x-1) => 2^x/2^+1 )

------------------
Vllt siehst du es in Latexform besser?
z/x * z = z^2/x

Augenzwinkern


Zitat:
Weil es quasi eine Erweiterung ist wie 4/6 *3 ist ja 12/6... gleiche Regel?

Das ist keine Erweiterung. Das ist eine normale Multiplikation. Und ja es ist dabei
egal ob es sich um Zahlen oder Buchstaben handelt. Gleiche Regeln Augenzwinkern .
Itziitz Auf diesen Beitrag antworten »

Ja die Latexform (heißt die wirklich so? Big Laugh ) hat was gebracht.
Macht Sinn..

okii danke! Melde mich gleich mal hier an :-) scheint ja echt eine coole Plattform zu sein! :-)
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das Latex ist sehr hilfreich beim Verstehen, da es eine saubere Schreibform erlaubt smile .


Freut mich, wenns dir hier gefällt smile .
Willkommen on board.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »