Grenzwert bestimmen

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06.08.2012, 11:39	svenhk1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert bestimmen Guten Morgen zusammen, ich bin wieder fleißig am Grenzwerte berechnen. Nun stehe ich leider seit Freitag vor einer Aufgabe und komme nicht weiter. Jeder Ansatz verläuft sich leider im nichts. $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty } f(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x)= \left (1-\frac{3}{x^2+1} \right)^{x^2} \end{eqnarray}$ Meine Überlegungen liefen wie folgt: -Klammerausdruck auf den gleichen Nenner bringen. -Mittels Logarithmusregeln Exponenten vorziehen. -Von jetzt an habe ich probiert es in richtung l´Hospital zu bringen -Den Grenzwert mittels kürzen zu errrechnen und und und Kann mir einer von Euch da einen Denkanstoß geben???
06.08.2012, 11:48	chris95	Auf diesen Beitrag antworten »
Denke an: $\begin{eqnarray} a^x = e^{x\log(a)} \end{eqnarray}$
06.08.2012, 11:59	shipwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, falls dir $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{x}{n}\right)^n=e^x \end{eqnarray}$ bekannt ist, kannst du damit arbeiten. Vorher natürlich ein bisschen umformen. Gruß Shipwater
06.08.2012, 12:26	svenhk1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Tipps. Ich werde es gleich mal ausprobieren!
06.08.2012, 14:32	svenhk1990	Auf diesen Beitrag antworten »
So ich habs jetzt probiert. @chris95 dein Tipp hat mich leider garnicht weiter gebracht. Ich verstehe nich was ich damit machen soll @shipwater deinen kann ich eher nachvollziehen zu mal e heraus kommen soll. Aber ich habe 0 Ahnung wie ich da hinkommen sollte. Diese Aufgabe wurde im Rahmen der Grenzwert ermittlung mittels Bernoulli l und de l´Hospital gestellt. Aber sobald ich in diese Richtung gehe dreht es sich spätestens bei Ableiten im Kreis!
06.08.2012, 14:53	shipwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich meinte das so: $\begin{eqnarray} \left (1-\frac{3}{x^2+1} \right)^{x^2}=\frac{\left (1-\frac{3}{x^2+1} \right)^{x^2+1}}{\left(1-\frac{3}{x^2+1}\right)} \end{eqnarray}$ Kommst du damit weiter? Und was chris95 meinte ist wohl folgendes: $\begin{eqnarray} \left (1-\frac{3}{x^2+1} \right)^{x^2}=e^{x^2 \cdot \ln\left (1-\frac{3}{x^2+1} \right)} \end{eqnarray}$ Wegen der Stetigkeit der e-Funktion kannst du vorübergehend nur noch den Exponenten betrachten: $\begin{eqnarray} x^2 \cdot \ln\left (1-\frac{3}{x^2+1} \right)=\frac{\ln\left (1-\frac{3}{x^2+1} \right)}{\frac{1}{x^2}} \end{eqnarray}$ Da kannst du nun mit der Regel von L'Hospital ansetzen. Gruß Shipwater
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06.08.2012, 15:42	svenhk1990	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} x^2 \cdot \ln\left (1-\frac{3}{x^2+1} \right)=\frac{\ln\left (1-\frac{3}{x^2+1} \right)}{\frac{1}{x^2}} \end{eqnarray}$ Da kannst du nun mit der Regel von L'Hospital ansetzen. Gruß Shipwater[/quote] Genau so habe ich das auch gemacht. Jetzt habe ich abgeleitet und komme auf dies: $\begin{eqnarray} \frac{\frac{6x}{(x^2+1)(1-\frac{3}{(x^2+1)} } }{\frac{-2}{x^3} } \end{eqnarray}$ Nun multipliziere ich mit dem Kehrwert und komme nach kürzen auf: $\begin{eqnarray} -\frac{3x^4}{(x^2+1)^2+(1-\frac{3}{x^2+1)} } \end{eqnarray*}$ Soweit erstmal richtig???
06.08.2012, 15:52	shipwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein paar Schreibfehler und so. Ich denke du meinst $\begin{eqnarray} -\frac{3x^4}{(x^2+1)^2\left(1-\frac{3}{x^2+1}\right)} \end{eqnarray}$ was dann richtig wäre. Gegen was geht dieser Ausdruck nun für $\begin{eqnarray} x \to \infty \end{eqnarray}$ ? Gruß Shipwater
06.08.2012, 15:56	svenhk1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das meinte ich Das müsste doch jetzt wieder $\begin{eqnarray} -\frac{\infty }{\infty } \end{eqnarray}$ sein oder? Also wieder L´Hospital?
06.08.2012, 15:59	shipwater	Auf diesen Beitrag antworten »
In so einem Fall wendet wohl niemand L'Hospital an. Man dividiert Zähler und Nenner durch $\begin{eqnarray} x^4 \end{eqnarray}$ (geht schneller). Gruß Shipwater
06.08.2012, 16:05	svenhk1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Mhhhh also irgendwie komme ich damit auf 3? Das kann doch nicht richtig sein....
06.08.2012, 16:10	shipwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Nur das Vorzeichen ist falsch. Und dann musst du dich daran erinnern, dass das ja nur der Exponent war. Gruß Shipwater
06.08.2012, 16:13	svenhk1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Tatsache In der Lösung steht echt e^-3 Vielen Dank!!!!
06.08.2012, 16:14	shipwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Keine Ursache.

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