Teilbarkeitskriterium 11, Quersumme

06.08.2012, 14:01	Naryxus	Auf diesen Beitrag antworten »
Teilbarkeitskriterium 11, Quersumme Hallo, wir sollen als Übung für die vollständige Induktion beweisen, dass eine Zahl z genau dann durch 11 teilbar ist, wenn ihre alternierende Quersumme $\begin{eqnarray} \sum_{i=0}^k (-1)^iz_i = z_0-z_1+z_2-...+(-1)^kz_k \end{eqnarray}$ dies ist. Dazu wurde dann als Hilfestellung gegeben, dass wir mit Induktion zeigen sollen, dass $\begin{eqnarray} 10^n-(-1)^n \end{eqnarray}$ durch 11 teilbar ist. Behauptung: $\begin{eqnarray} 11\mid 10^n-(-1)^n \end{eqnarray}$ Induktionsanfang: n=0. $\begin{eqnarray} 10^0-(-1)^0 = 1-1 = 0 \end{eqnarray}$ 11 teilt 0, also ist der Induktionsanfang richtig. Induktionsvoraussetzung: $\begin{eqnarray} 11\mid 10^n-(-1)^n \end{eqnarray}$ Induktionsschritt: $\begin{eqnarray} n\to n+1. \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 10^{n+1}-(-1)^{n+1} = 1010^n-(-1(-1)^n) \end{eqnarray}$ Von hier aus komme ich leider nicht mehr richtig weiter. Irgendwie muss ich das jetzt ja auf eine Form von der Induktionsvoraussetzung bekommen. Nur wie?
06.08.2012, 14:08	shipwater	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 10^{n+1}-(-1)^{n+1}=10^{n+1}-10 \cdot (-1)^n+10 \cdot (-1)^n-(-1)^{n+1}=10 \cdot (10^n-(-1)^n)+(-1)^n \cdot 11 \end{eqnarray}$
06.08.2012, 15:04	Naryxus	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke

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