p-adische Entwicklung - beweis

06.08.2012, 16:58

Daniel1

p-adische Entwicklung - beweis

Hallo,

ich habe eine kleine Verständnisfrage zur p-adischen Entwicklung.
Ich habe den Beweis dazu gelesen
Dieser stützt sich auf die Teilbarkeit mit Rest. n sei eine eindeutig bestimmte Zahl mit $\begin{eqnarray*} g^n \leq a < g^{n+1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a=a_{n} *g^n +r \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} 0\leq r<g^n \end{eqnarray*}$

Wenn man die Division mit Rest bewiesen hat, muss man doch an dieser Stelle nur noch beweisen, dass der Rest r sich auch in der Form $\begin{eqnarray*} a_{i}*g^i \end{eqnarray*}$ darstellen lässt? Habe ich das so richtig verstanden? (wobei i natürlich kleiner n ist)

Ich hoffe ja, ansonsten korrigiert mich bitte!

Nun zu meinem Hauptproblem:

Es ist $\begin{eqnarray*} a_{n}*g^n=a-r \leq a < g^n+1 \end{eqnarray*}$ , bzw. $\begin{eqnarray*} a_{n} < g. \end{eqnarray*}$ Ist $\begin{eqnarray*} a_{n}=0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} a=r<g^n \end{eqnarray*}$
aber nach Voraussetzung $\begin{eqnarray*} a \geq g^n. \end{eqnarray*}$

"Entsprechend ist der höchste Koeffizient $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ gefunden."

Was ist damit gemeint? $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ musste doch nicht mehr gefunden werden? Was ist damit gemeint? Bzw. was wurde hier bewiesen?

Danke für eure Hilfe!

06.08.2012, 17:40

HAL 9000

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Angesichts der Betrachtungen

Zitat:

Original von Daniel1
n sei eine eindeutig bestimmte Zahl mit $\begin{eqnarray*} g^n \leq a < g^{n+1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a=a_{n} *g^n +r \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} 0\leq r<g^n \end{eqnarray*}$

bei vorausgesetzt positiv ganzzahligen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ (nehme ich mal an) macht $\begin{eqnarray*} a_n=0 \end{eqnarray*}$ nicht den geringsten Sinn: Diese Konstruktion sichert ja gerade $\begin{eqnarray*} 1\leq a_n<g \end{eqnarray*}$ .

Außerdem sollte es hier

Zitat:

Original von Daniel1
Es ist $\begin{eqnarray*} a_{n}*g^n=a-r \leq a < g^n+1 \end{eqnarray*}$

ja wohl eher $\begin{eqnarray*} a_{n}*g^n=a-r \leq a < g^{n+1} \end{eqnarray*}$ heißen - also bitte aufpassen beim Schreiben der Formeln.

06.08.2012, 17:49

Daniel1

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Zitat:

Original von HAL 9000
Angesichts der Betrachtungen

Zitat:

Original von Daniel1
Es ist $\begin{eqnarray*} a_{n}*g^n=a-r \leq a < g^n+1 \end{eqnarray*}$

ja wohl eher $\begin{eqnarray*} a_{n}*g^n=a-r \leq a < g^{n+1} \end{eqnarray*}$ heißen - also bitte aufpassen beim Schreiben der Formeln.

Jap du hast recht. Mittlerweile habe ich die Idee hinter dem Beweis glaube ich begriffen. Danke!

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