Konvergenz einer Reihe mit Integral

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06.08.2012, 17:41	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz einer Reihe mit Integral Meine Frage: Hallo Leute, ich möchte gerne die Folgende Reihe auf Konvergenz prüfen: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty \int_n^{n+1} \! \frac{1}{x} \, dx \end{eqnarray}$ also ich vermute mal, dass sie Konvergiert, denn die Funktion 1/x schmiegt sich ja an die X - Achse an und und ich bilde ja immer das Integral weiter rechts, also wird dieses immer kleiner geht also gegen Null, was ja auch so sein muss (Trivialkriterium). Aber ich weiß nichts so recht, welches Kriterium ich anwenden soll um die Konvergenz zu zeigen, hat mir jemand einen Tipp?? Meine Ideen: Danke vielmals!
06.08.2012, 17:49	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz einer Reihe mit Integral Wenn du die Stammfunktion aufschreibst, wirst du sehen, dass eine Teleskopreihe ist (wenigstens wenn man mit den Indizes k und n etwas vorsichtiger umgegangen wär). Wobei es eigentlich das Integral von 1 bis unendlich von 1/x - eine der beiden Ideen von mir hat gerade einen Fehler. Edit 2: Ah natürlich, hab das mit der Teleskopsumme nicht zu Ende gedacht. Es endet beides beim gleichen Ergebnis.
06.08.2012, 18:19	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty} \int_n^{n+1} \frac{\dd x}{x} \ \ \ = \ \ \ \lim_{N \to \infty} \underbrace{\sum_{n=1}^{N} \int_n^{n+1} \frac{\dd x}{x}}_{\text{kann konkret berechnet werden}} \end{eqnarray}$ Intervalladditivität!
06.08.2012, 18:29	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich habe es jetzt mal so gemacht: $\begin{eqnarray} \int_n^{n+1} \! \frac{1}{x} \, dx = \left[ log(x) \right]_n^{n+1} = log(n+1) - log(n) = log(\frac{n+1}{n}) \end{eqnarray}$ Kann man da nicht ne schöne divergente Minorante finden? Also ich habe ja jetzt: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty log(\frac{n+1}{n} ) \end{eqnarray}$
06.08.2012, 18:31	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \int_a^b + \int_b^c + \int_c^d + \int_d^e + \int_e^f = \int_a^f \end{eqnarray}$
06.08.2012, 18:41	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja wenn ich das so aufschreibe habe ich doch: $\begin{eqnarray} \lim_{N \to \infty } log(2) - log(1) + log(3) - log(2) + log(4) - log(3) + ... \end{eqnarray}$ da hebt sich ja alles auf
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06.08.2012, 18:46	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Eben. Da hebt sich alles auf. Das sieht man aber schon weit vorher. Du machst dagegen alles komplizierter statt einfacher. Es ist ja gut, wenn man sich an Regeln für den Logarithmus erinnert. Aber die Entscheidung, ob man sie an einer Stelle anwenden soll oder nicht, ist damit noch nicht vorweggenommen. $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^N \int_n^{n+1} f(x) ~ \dd x = \int_1^{N+1} f(x) ~ \dd x \end{eqnarray}$ Das gilt doch für jedes $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ (INTERVALLADDITIVITÄT) und hat rein gar nichts mit dem Logarithmus zu tun.
06.08.2012, 18:48	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Was bedeutet dies nur für meine Konvergenz?
06.08.2012, 18:50	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist eigentlich jetzt offensichtlich. Du mußt nur das Ergebnis der bisherigen Rechnungen einmal hinschreiben statt immer nur darüber zu reden, was wäre wenn.
06.08.2012, 18:52	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja wenn die Summe 0 ergibt, dann konvergiert die Reihe gegen Null oder nicht?
06.08.2012, 18:53	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Welche Summe soll denn da Null ergeben?
06.08.2012, 19:25	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, also ich erhalte, wenn ich es mir noch mal anschaue: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^N \int_n^{n+1} \! \frac{1}{x} \, dx = \int_1^{N+1} \! \frac{1}{x} \, dx = \left[log(x)\right]_1^{N+1} = log(N+1) \end{eqnarray}$ und mit dem Limes folgt: $\begin{eqnarray} \lim_{N \to \infty } log(N+1) = \infty \end{eqnarray}$ die Divergenz
06.08.2012, 19:57	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Bis auf einen paar Schreibfehler in der Rechnung stimmt es jetzt.

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