Fixkörper der Untergruppen einer Galoisgruppe

06.08.2012, 18:16	alcardaalanda	Auf diesen Beitrag antworten »
Fixkörper der Untergruppen einer Galoisgruppe Meine Frage: Ich bin gerade beim Büffeln für meine Klausur bei einer Aufgabe hängengeblieben: Gesucht sind die Galoisgruppe des siebten Kreisteilungspolynoms, die Untergruppen und korrespondierenden Fixkörper. In der Übung haben wir aus Zeitmangel nur schnell die Lösung bekommen, ohne große Erklärungen. Diese kann ich aber einfach nicht nachvollziehen. Es ist ja $\begin{eqnarray} f(x)=x^{6}+x^{5} +x^{4} +x^{3} +x^{2} +x+1 \end{eqnarray}$ . Die Galoisgruppe ist dementsprechend $\begin{eqnarray} (\mathbb F7)^{} \cong \mathbb F6 \end{eqnarray}$ . Diese Gruppe ist natürlich zyklisch. Sei $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ Erzeuger der Galoisgruppe. Es ergeben sich die Untergruppen $\begin{eqnarray} G_1 = \left\{id , \sigma^2, \sigma^4\right\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} G_2 = \left\{id , \sigma^3\right\} \end{eqnarray}$ . Der Zerfällungskörper ist ja $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\xi) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \xi \end{eqnarray}$ eine primitive 7.te Einheitswurzel ist. In der Vorlesung sind jetzt als korrespondierende Fixkörper angegeben: $\begin{eqnarray} G_1 \Leftrightarrow \mathbb Q(\xi+\xi^{2}+\xi^{4}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} G_2 \Leftrightarrow \mathbb Q(\xi+\xi^{6}) \end{eqnarray}$ Es ist ja $\begin{eqnarray} ord(\sigma)=6 \end{eqnarray}$ . Unser Übungsleiter hat noch angeschrieben: $\begin{eqnarray} \sigma^{2}:\xi \rightarrow \xi^{2} \rightarrow \xi^{4} \rightarrow \xi^{8} = \xi \end{eqnarray}$ Kann ich mir $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} (\mathbb F7)^{} \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} 3 \end{eqnarray}$ erzeugt wird, einfach wie folgt definieren: $\begin{eqnarray} \sigma:\xi^{3} \rightarrow \xi^{2} \rightarrow \xi^{6} \rightarrow \xi^{4} \rightarrow \xi^{5} \rightarrow \xi \rightarrow \xi^{3} \end{eqnarray}$ ?. Dann hätte ich nämlich $\begin{eqnarray} \sigma^{2}:\xi^{3} \rightarrow \xi^{6} \rightarrow \xi^{5} \rightarrow \xi^{3} \end{eqnarray}$ und mein Fixkörper wäre dann (zumindest für meinen Geschmack) $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\xi^{3}+\xi^{6}+\xi^{5}) \end{eqnarray}$ Ist das nun beides richtig?? Das verwirrt mich ziemlich. Und welchen Grad haben denn die Fixkörper über dem Grundkörper? Weil der Fixkörper zu $\begin{eqnarray} G_1 \end{eqnarray}$ sieht für meinen Geschmack größer aus als der zu $\begin{eqnarray} G_2 \end{eqnarray}$ und aufgrund der Inklusionsumkehrung nach dem Hauptsatz der Galoistheorie hätte ich es eigentlich anders erwartet, also dass der erste Fixkörper Grad 2 und der zweite Grad 3 über $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ hat. Stimmen meine Überlegungen denn so? Und wie kann ich den Grad der Fixkörper ermitteln? Vielleicht hat ja jemand einen Tipp oder Hinweis für mich...? Vielen Dank schonmal!
07.08.2012, 00:09	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Sowohl $\begin{eqnarray} \xi+\xi^2+\xi^4 \end{eqnarray}$ als auch $\begin{eqnarray} \xi^3+\xi^6+\xi^5 \end{eqnarray}$ werden von $\begin{eqnarray} \sigma^2 \end{eqnarray}$ festgehalten (denn als Element der $\begin{eqnarray} S_6 \end{eqnarray}$ aufgefasst ist $\begin{eqnarray} \sigma^2=(124)(365) \end{eqnarray}$ , dabei wird natürlich die Nullstelle $\begin{eqnarray} \xi^k \end{eqnarray}$ mit k identifiziert). Die Frage ist dann nur noch ob $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\xi+\xi^2+\xi^4) \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\xi^3+\xi^6+\xi^5) \end{eqnarray}$ wirklich schon die Fixkörper sind oder ob es z.b. $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\xi+\xi^2+\xi^4,\xi^3+\xi^6+\xi^5) \end{eqnarray}$ bedarf. Hier kommt dann der Hauptsatz ins Spiel: Da es zwischen G und $\begin{eqnarray} G_1 \end{eqnarray}$ keine echte Untergruppe mehr gibt, gibt es auch zwischen $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ und dem Fixkörper von $\begin{eqnarray} G_1 \end{eqnarray}$ keine Zwischenkörper mehr. Also muss der Fixkörper schon gleich $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\xi+\xi^2+\xi^4) \end{eqnarray}$ und auch gleich $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\xi^3+\xi^6+\xi^5) \end{eqnarray}$ sein. Ist also beides richtig. PS: Der Grad der Zwischenkörper ist doch der Index der Untergruppe. Das ist Teil des Hauptsatzes.
07.08.2012, 07:59	alcardaalanda	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi tmo, vielen Dank, das hat mir sehr geholfen! Ich muss sagen, so langsam bekomme ich ein wenig den Durchblick. Prinzipiell finde ich das Thema sehr interessant und die ganzen Sätze und Aussagen verstehe ich prinzipiell auch. Doch teilweise kommt mir die Suche nach den Fixkörpern wie ein reines Glücksspiel vor. Da haben wir teilweise Elemente auf abstruseste Weise umgeschrieben, damit man sieht, dass sie fix gelassen werden. (Als ein noch vergleichsweise harmloses Beispiel sei $\begin{eqnarray} \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2} + i + \sqrt{2} -i}{2} \end{eqnarray}$ genannt. Hat man das nicht so umgeschrieben, hatte man verloren, da man sonst nicht erkannt hat, dass $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ fix gelassen wird. Manchmal werden ja auch irgendwelche Produkte oder Summen von Elementen fixgelassen. Das finde ich besonders fies. Wenn genug Zeit ist und gut machbar, werde ich, denke ich, eine Abbildungsmatrix zur jeweiligen Untergruppe aufstellen und den Eigenraum zum Eigenwert 1 ausrechnen. Aber das kann bei großen Matrizen auch bös in Arbeit ausarten. PS: Auch vielen Dank für den Tipp mit dem Grad der Zwischenkörper. Ich habe nochmal geschaut und bei uns fehlt diese Aussage einfach, obwohl sie sogar bei Wikipedia direkt ins Auge fällt.
07.08.2012, 09:35	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Aussage ist eine direkte Folgerung aus der Galoskorrespondenz. In der Galoiskorrespondenz ist doch die Inverse zum "Fixkörper bilden" durch "Galoisgruppe über dem Zwischenkörper bilden" gegeben. D.h. ist $\begin{eqnarray} G = Gal(L/K) \end{eqnarray}$ und Z der Fixkörper von $\begin{eqnarray} H \leq G \end{eqnarray}$ . So ist $\begin{eqnarray} Gal(L/Z) = H \end{eqnarray}$ . In letzterer Gleichung sieht man, dass $\begin{eqnarray} \|H\| = \|Gal(L/Z)\| = [L:Z] = \frac{[L:K]}{[Z:K]} = \frac{\|G\|}{[Z:K]} \end{eqnarray}$ , also ist $\begin{eqnarray} [Z:K] \end{eqnarray}$ gerade der Index von H. Der Grund, dass man das übersieht, ist dass man beim Berechnen einer Galoisgruppe und Aufstellen der Zwischenkörper immer nur den Weg "Untergruppe --> Fixkörper" geht. Man sollte nicht vergessen, dass es auch zurückggeht.

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