Struktur elementar definierbar?

06.08.2012, 21:03

gadreel

Struktur elementar definierbar?

Hallo, ich habe jetzt längere Zeit überlegt und bin mir überhaupt nicht sicher ob meine Lösung richtig ist :-)

Die Aufgabe lautet:

Beweisen oder widerlegen Sie für die folgenden Relationen jeweils, dass Sie in der jeweiligen
Struktur elementar definierbar sind.

alle nicht-trivialen Teilmengen $\begin{eqnarray*} A \subseteq Q \end{eqnarray*}$ (d.h $\begin{eqnarray*} A \neq \emptyset \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A \neq Q \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} (Q, \le) \end{eqnarray*}$ .

Q ist hierbei die Menge der rationalen Zahlen. Meine Lösung war bisher:

$\begin{eqnarray*} \exists x_{0} ... \exists x_{n}(\bigwedge_{i \neq j}x_{i} \neq x_{j}) \end{eqnarray*}$

Ich hatte erst noch versucht zu beschreiben, dass ein Supremum existieren muss, aber dann überlegt, ob es so schon passt? Hat jemand ne Ahnung? ;-)

07.08.2012, 01:17

Iorek

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Warum sollte dir das denn eine beliebige, nicht-triviale Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ definieren? verwirrt

In der Tat ist eine beliebige, nicht-triviale Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} (\mathbb Q,\leq ) \end{eqnarray*}$ nicht elementar definierbar, das lässt sich etwa mit dem Isomorphielemma und einem geeignetem Automorphismus zeigen (Sei $\begin{eqnarray*} A\subset Q \end{eqnarray*}$ beliebige, nicht-triviale Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ , betrachte dann ein $\begin{eqnarray*} a\in A \end{eqnarray*}$ und ein $\begin{eqnarray*} b\notin A \end{eqnarray*}$ ; konstruiere dann einen Automorphismus $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ für den $\begin{eqnarray*} \pi(a)\notin A \end{eqnarray*}$ gilt).

21.09.2012, 17:24

icarus

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Kann man hier einfach auf die leere Menge abbilden?

21.09.2012, 17:28

Iorek

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Wo kommt denn hier auf einmal die leere Menge ins Spiel? Und welche Abbildung willst du betrachten? verwirrt

21.09.2012, 17:33

icarus

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Kann ich nicht als Automorphismus einen nehmen, der eine nicht triviale Menge nimmt und die dann einfach auf $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ abbildet? Sorry, ich habe bei dieser Aufgabe keinen richtigen Peil und bisher ist mir nur das eingefallen. traurig

21.09.2012, 17:36

Iorek

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Der Automorphismus ist doch nicht auf den Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ , sondern auf der Struktur $\begin{eqnarray*} (\mathbb Q,\leq) \end{eqnarray*}$ zu definieren, also $\begin{eqnarray*} \pi:\mathbb Q\rightarrow\mathbb Q \end{eqnarray*}$ , der die $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ -Relation erhält.

21.09.2012, 17:43

icarus

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Darf man bei so einem Automorphismus die Menge mit dem Komplement vereinen? Oder wird der Automorphismus bei einer Menge auf jedes Element einzeln ausgeführt?

21.09.2012, 17:48

Iorek

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Noch einmal: der Automorphismus hat mit irgendwelchen Mengen oder deren Komplementen nichts zu tun. Der zu konstruierende Automorphismus ist eine bijektive Abbildung von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ , bildet also rationale auf rationale Zahlen ab. Zusätzlich wird jetzt eben noch gefordert, dass diese Abbildung die $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ -Relation erhält.

Evtl. solltest du dir erst einmal ein paar mögliche Automorphismen überlegen, ohne auf die eigentliche Aufgabe und die zu definierende Relation einzugehen. Was für Automorphismen auf $\begin{eqnarray*} (\mathbb Q,\leq) \end{eqnarray*}$ sind möglich?

21.09.2012, 18:56

icarus

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Ich habe ja schon welche benhutzt wie z.B. nen Primzahltauscher oder und etc. Aber bei dieser Mengenaufgabe, komme ich nicht klar! Big Laugh

Ich könnte natürlich auf andere Zahlen abbilden, aber da komme ich doch nie auf eine triviale Menge oder? Ich müsste doch die Elemente irgendwie so abbilden, dass ich dann am Ende eine triviale Menge habe oder? Ich kann ja z,B. nicht auf irrationale Zahlen abbilden, da es sonst die ursprüngliche Struktur verletzt.

21.09.2012, 18:58

Iorek

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Wie gesagt, vergiss erst einmal die gesamte Aufgabe rund um die Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ .

Wir betrachten die Struktur $\begin{eqnarray*} (\mathbb Q,\leq) \end{eqnarray*}$ , gib einfach mal ein paar Automorphismen dieser Struktur an, danach kann man sich Gedanken über die zu definierende Relation machen.

21.09.2012, 19:19

icarus

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x -> 1 (x -> x * 1/x)
x -> 1/x
x -> p mit p als Primzahl
x -> x*x

Dann kann man bestimmt eine Zahl in Primfaktoren zerlegen und diese dann vertauschen.

Ich werde noch weiter überlegen, aber bisher ist mir kein hilfreicher Automorphismus eingefallen.

21.09.2012, 19:26

Iorek

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Ich glaube, du solltest dir zuerst noch einmal die Definition eines Isomorphismus ansehen, die die du angegeben hast, sind alle Murks.

$\begin{eqnarray*} \pi: \mathbb Q\rightarrow\mathbb Q,~x\mapsto 1 \end{eqnarray*}$ , warum solltest das ein Automorphismus sein? Die Abbildung ist offensichtlich nicht einmal bijektiv.
$\begin{eqnarray*} \pi: \mathbb Q\rightarrow\mathbb Q,~x\mapsto \frac 1x \end{eqnarray*}$ , das ist nicht mal eine Abbildung, worauf wird die 0 abgebildet?
$\begin{eqnarray*} \pi: \mathbb Q\rightarrow\mathbb Q,~x\mapsto p \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p\in\mathbb P \end{eqnarray*}$ , genau wie bei der ersten ist diese Abbildung nicht bijektiv.
$\begin{eqnarray*} \pi: \mathbb Q\rightarrow\mathbb Q,~x\mapsto x^2 \end{eqnarray*}$ , auch diese Abbildung ist nicht bijektiv.

23.09.2012, 12:49

icarus

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Ok, da war ich zu schnell. :-)

$\begin{eqnarray*} \pi: \mathbb Q\rightarrow\mathbb Q,~x\mapsto x+1 \end{eqnarray*}$

Sei nun A endlich. Dann existiert ein Maximum $\begin{eqnarray*} a \in A \end{eqnarray*}$ für das $\begin{eqnarray*} \pi (a) \notin A \end{eqnarray*}$ gilt.
Sei nun A unendlich und $\begin{eqnarray*} A \neq Q \end{eqnarray*}$ . Dann existieren y mit $\begin{eqnarray*} y \in Q \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \notin A \end{eqnarray*}$ .
Sei nun y=x+1 mit $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ aber $\begin{eqnarray*} \pi (x) \notin A \end{eqnarray*}$ .

23.09.2012, 13:15

Iorek

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Zitat:

Original von icarus
Sei nun y=x+1 mit $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ .

Das kann schiefgehen, setze etwa $\begin{eqnarray*} A=\mathbb N\subseteq \mathbb Q \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} x+1\in A \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ .

Der Ansatz ist aber korrekt, betrachte aber besser $\begin{eqnarray*} a,b\in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a\in A, b\notin A \end{eqnarray*}$ und bilde davon mal die Differenz.

23.09.2012, 18:42

icarus

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Ah stimmt, du bist echt ein Mathemagier! :-P

Meinst du $\begin{eqnarray*} \pi: \mathbb Q\rightarrow\mathbb Q,~x\mapsto 0.5x \end{eqnarray*}$
Und dann argumentieren, dass eine endliche Menge ein Minumum hat und dieses dann halbiert nicht mehr im Träger ist? Bei unendlichen Mengen, dann so wie vorhin oder?

23.09.2012, 19:11

Iorek

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Auch mit diesem Isomorphismus dürfte es Probleme geben, betrachte etwa die Menge $\begin{eqnarray*} A=\{2^k,k\in\mathbb Z\} \end{eqnarray*}$ als unendliche Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ . Damit ist dann für ein $\begin{eqnarray*} x=2^k\in A \end{eqnarray*}$ (für geeignetes $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ ) auch $\begin{eqnarray*} \pi(x)=\pi(2^k)=\frac 12\cdot 2^k=2^{k-1}\in A \end{eqnarray*}$ . Ein Isomorphismus, der eine konkrete Zahl addiert oder mit einer konkreten Zahl multipliziert, wird dir immer solche Probleme machen, also muss etwas anderes her.

Sei $\begin{eqnarray*} A\subseteq\mathbb Q \end{eqnarray*}$ eine beliebige (nicht-triviale) Teilmenge. Da $\begin{eqnarray*} A\neq \mathbb Q \end{eqnarray*}$ gilt, existieren $\begin{eqnarray*} a,b\in\mathbb Q \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a\in A,~b\notin A \end{eqnarray*}$ . Nun betrachte man $\begin{eqnarray*} \pi:\mathbb Q\rightarrow\mathbb Q,~x\mapsto x+c \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c=b-a \end{eqnarray*}$ .

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