Ableitung von f(x)= sin^4(x)+cos^4(x)

07.08.2012, 12:10

matze262

Ableitung von f(x)= sin^4(x)+cos^4(x)

Meine Frage:
Hi,
ich bin neu hier im Forum und habe gleich ein Problem Augenzwinkern

Es handelt sich um folgende Aufgabe

f(x)=sin^4(x)+cos^4(x)

Davon soll ich nun die Ableitung bilden. Hab auch eine Musterlösung vorgegeben:

f'(x)= -4sin(4x)

desweiteren habe ich einen Hinweis, dass ich die Additionstheoreme nutzen soll.
Meine Frage ist nun wie ich auf die Lösung komme???

Meine Ideen:
Habe es mit der Kettenregel probiert und folgendes rausbekommen:

f'(x)=4*sin^3(x)*cos(x)+4*cos^3(x)*(-sin(x))

aber dann bekomme ich auch ein anderes Ergebnis raus, als in der Musterlösung rauskommt. Also müsste dieser Ansatz falsch sein.
Aber wieso....?
Bin für jede Hilfe dankbar!!

07.08.2012, 12:44

zyko

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RE: Ableitung von f(x)= sin^4(x)+cos^4(x)
Hallo,
deine Ableitung ist richtíg.
Klammere jetzt gleiche Terme aus und nutze anschließend zuerst das Additionstheorem des Cosinus (Achtung Vorzeichen beachten) und anschließend das Additionstheorem des Sinus. Damit wirst du die gewünschte Form der Ableitung erhalten.

07.08.2012, 12:46

chris95

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Ja, dein Ergebnis passt.

Du solltest jetzt trigonometrische Identitaeten benutzen um zum obigen Ergebnis zu kommen.

http://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie

Da findest du einige.

07.08.2012, 14:09

HAL 9000

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Zitat:

Original von matze262
Hab auch eine Musterlösung vorgegeben:

f'(x)= -4sin(4x)

Das ist falsch - die richtige Ableitung ist $\begin{eqnarray*} f'(x)=-\sin(4x) \end{eqnarray*}$ , d.h. ohne Vorfaktor 4.

07.08.2012, 14:32

matze262

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Danke für die schnell und gute Hilfe :-)
...stimmt, der Faktor 4 in der Musterlösung ist falsch!!

Gib hier noch mal meinen Lösungsweg an (vielleicht hilft es noch jemanden außer mir )

f(x)=sin^4(x)+cos^4(x)

erste Ableitung mit der Kettenregel: f ´(x) = u´( v(x) )*v´(x)

f'(x)=4*sin^3(x)*cos(x)+4*cos^3(x)*(-sin(x))

ausklammern:

f'(x)= -4*sin(x)*cos(x)*( -sin^2(x)+cos^2(x))

Additionstheorem des Cosinus: cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)

f'(x)= -4*sin(x)*cos(x)*cos(2x)

Additionstheorem des Sinus: sin(2x) = 2*cos(x)*sin(x)

f'(x)= -2*sin(2x)*cos(2x)

letzter Schritt: sin(x)*cos(y) = (sin(x-y)+sin(x+y))/2

f'(x)= -sin(4x)

07.08.2012, 18:38

HAL 9000

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Du kannst übrigens auch auch vor dem Differenzieren, d.h. $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ selbst vereinfachen: Es ist

$\begin{eqnarray*} \sin^2(x) = \frac{1-\cos(2x)}{2},\quad \cos^2(x) = \frac{1+\cos(2x)}{2} \end{eqnarray*}$ ,

dann folgt

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sin^4(x) + \cos^4(x) = \frac{(1-\cos(2x))^2+(1+\cos(2x))^2}{4} = \frac{2+2\cos^2(2x)}{4} = \frac{3+\cos(4x)}{4} \end{eqnarray*}$ ,

womit dann direkt $\begin{eqnarray*} f'(x)=-\sin(4x) \end{eqnarray*}$ folgt.

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