Potential eines Vektorfeldes

07.08.2012, 15:41	sirgrej	Auf diesen Beitrag antworten »
Potential eines Vektorfeldes ich sitze gerade an einer aufgabe und muss das wegintegral eines Vektorfeldes berechnen. mit rot=0 hab ich nachgewiesen, dass f ein Potential besitzt und somit kann ich eindach die Potentialdifferenz über meinen Weg berechnen. die schwierigkeiten ergeben sich jetzt bei der berechnung des Potentials. gegeben ist das Vektorfeld: $\begin{eqnarray} f=\begin{pmatrix} y^2-2xye^z \\ 2xy-x^2e^z+e^y \\ -yx^2e^z \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ das Potential lässt sich ja mit dem Ansatz: $\begin{eqnarray} U(x,y,z)=\int_-^- \! fx \, dx+C(y,z)=\int_-^- \! fy \, dy+C(x,z) =\int_-^- \! fz \, dz+C(x,y) \end{eqnarray}$ berechnen. Also einfach alles funktionen einmal integrieren und die Integrationskonstanten so anpassen,dass alle integrale sich ähneln. so funktioniert es auch und ich komme auf das ergebnis. aber ich habe es noch mit einer anderen methode probiert mit der ich aber nicht auf das ergebnis komme. 1.ich integriere fx nach dx und leite nach y ab 2. setze die ableitung aus 1 dann gleich fy und integriere nach y 3. leite nach z ab und setze das dann fz gleich 4 integriere das nach z und müsste dann die lösung für die integrationskonstante haben. aber so komme ich irgendwie nicht auf die lösung. liegt es an der methode die ich mache oder an einem rechenfehler? wenn es ein rechenfehler ist schreibe ich meinen bisherige lösung später hier rein mfg
08.08.2012, 07:22	Rmn	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potential eines vektorfeldes Du hast $\begin{eqnarray} U(x,y,z) = \int f_x dx + C(y,z) \end{eqnarray}$ und bestimmst C(y,z) aus $\begin{eqnarray} f_y = \frac{\partial}{dy}U(x,y,z) = \frac{\partial}{dy}(\int f_x dx + C(y,z)) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\partial}{dy}C(y,z)= f_y - \frac{\partial}{dy} \int f_x dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} C(y,z)=\int \left[ f_y - \frac{\partial}{dy} \int f_x dx \right]dy + C(z) \end{eqnarray}$ analog dann auch c(z) bestimmen und alles rückwärts einsetzen.
08.08.2012, 18:01	sirgrej	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, dann rechne ich es mal so wie ich es habe, vielleicht findet einer ja den fehler: integrieren von fx nach x $\begin{eqnarray} \int_-^- \! y^2-2xye^z \, dx = y^2x-x^2ye^z+C(y,z) \end{eqnarray}$ ableiten nach y und mit fy gleichsetzen: $\begin{eqnarray} 2yx-x^2e^z+C'(y,z)=2xy-x^2e^z+e^y \end{eqnarray}$ vereinfachen und wir bekommen: $\begin{eqnarray} C'(y,z)=e^y \end{eqnarray}$ nach y integrieren ergibt: $\begin{eqnarray} C(y,z)=e^y+B(z) \end{eqnarray}$ nach z ableiten und mit fz gleichsetzen: $\begin{eqnarray} B'(z)=-yx^2e^z \end{eqnarray}$ integriert nach z ergibt es das selbe und für das potential ergibt sich dann: $\begin{eqnarray} y^2x-x^2ye^z+C(y,z) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} C(y,z)=e^y+B(z) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B(z)=-yx^2e^z \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =>U(x,y,z)=y^2x-2x^2ye^z+e^y \end{eqnarray}$ der faktor 2 ist aber falsch. wo ist der Fehler? mfg
08.08.2012, 18:55	Rmn	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist $\begin{eqnarray} \partial_z U(x,y,z) = f_z \end{eqnarray}$ nicht $\begin{eqnarray} \partial_z B(z) = f_z \end{eqnarray}$ du muss schon die ganze U nach z ableiten und dann fleich fz setzen um C(z) zu bekommen.
09.08.2012, 08:57	sirgrej	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm irgendwie verstehe ich nicht was du meinst. kannst du mir vielleicht anhand meiner rechnung zeigen wie es richtig aussehen würde? mfg

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »