Wahrscheinlichkeit einer Binomialverteilung bestimmen

07.08.2012, 23:29	theWHO	Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeit einer Binomialverteilung bestimmen Meine Frage: Hallo zusammen, gegeben sei eine Wahrscheinlichkeitsvariable X, die zählt, wie oft unter n Versuchen ein Ereignis A eintritt. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis A eintritt, ist für jeden Versuch genau p. Ich würde nun gerne ein p bestimmen, sodass $\begin{eqnarray} P(X >= k) = P(X <= k-1) >= s \end{eqnarray}$ ist, wobei $\begin{eqnarray} k \in [1,\infty) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} s \in [0,1] \end{eqnarray}$ Parameter sind. n ist fest. Kann mir jemand helfen, wie ich p bestimme? Ich bräuchte eine Lösung in geschlossener Form um sie innerhalb eines Programms zu berechnen. Vielen Dank für die Hilfe. Meine Ideen: Offensichtlich ist X binomialverteilt mit n, p. Daraus ergibt sich die Verteilungsfunktion für Binomialverteilungen. Allerdings wüsste ich nicht, wie man die nach p auflösen kann. Evtl. kommt man mit einer Nährung über die Normalverteilung weiter?
08.08.2012, 10:42	theWHO	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wahrscheinlichkeit einer Binomialverteilung bestimmen Oh, da hat sich ein Fehler eingeschlichen. Es muss $\begin{eqnarray} P(X >= k) = 1 - P(X <= k-1) >= s \end{eqnarray}$ heißen.
08.08.2012, 11:47	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wahrscheinlichkeit einer Binomialverteilung bestimmen Auch nach der Korrektur ist die Fragestellung noch etwas merkwürdig. Wenn du nur irgendein p suchst, dass die Bedingung erfüllt, nimmt p = 1. Ich vermute eher, du suchst den Bereich für p, in dem die Bedingung erfüllt ist. Das kleinste p ergibt sich aus der Gleichung $\begin{eqnarray} P(X \leq k-1)=\mathcal B(k-1\|n, p)=1-s \end{eqnarray}$ Die Gleichung lässt sich nur numerisch lösen. Wenn du die Binomialverteilung durch die Normalverteilunung annäherst und die Umkehrfunktion der Normalverteiluung als gegeben betrachtest, erhältst du eine quadratische Gleichung für p. Dann musst du aber zum Schluss überprüfen, ob die Näherung gerechtfertigt ist. Und man sollte bei der Näherung immer die Stetigkeitskorrektue berücksichtigen.

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