Quadratfreie Faktorisierung

08.08.2012, 00:05

Nummsi

Quadratfreie Faktorisierung

Meine Frage:
moin, ich habe eine aufgabe zur quadratfreien Faktorisierung:
und zwar ist folgendes Polynom gegeben
$\begin{eqnarray*} f(x)= x^3-x^2-x+1 \in Z_{5} \end{eqnarray*}$

nun sollen wir , wie schon gesagt eine Faktorisierung in quadratfreie Faktoren durchführen.

Meine Ideen:
meine idee, bzw meine herrangehensweise ist erstmal , die erste ableitung zu bestimmen und dann den ggt(f,f') zu bestimmen ... dazu müssen wir eine polynomendivision durchführen.. soweit so gut.. also die durchführung macht mir keine probleme.

Mein Problem ist einfach, dass ich Lina bei diesem Professor nicht gehört habe und die quadratfreie Faktorisierung neu für mich ist, klar kenn ich Euklid und den erweiterten Euklid.. nur wenn ich mir die "Musterlösung " vom Assi angucke sind da mehr als nur ein paar Fragezeichen .. ich werde die mal eintackern:

siehe bild:

hier stellt ich mir schon bei der polynomendivision um den ggt zu finden, die frage, was der herr da eigentlich macht.

wär echt nett wenn ihr mir da ein paar tipps geben könntet

lg christian

08.08.2012, 11:12

Bjoern1982

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Werde doch mal etwas konkreter.
An welcher Stelle genau und warum wird es für dich dort unklar ?

21.02.2017, 13:32

razzbs

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Der Thread ist zwar schon etwas älter - ich bin nicht der Ersteller -, allerdings hätte ich ein paar Fragen zu der Lösung smile

Wie komme ich in der Nebenrechnung auf 2* $\begin{eqnarray*} (3x+2) \end{eqnarray*}$ ?

Mir ist klar, dass, da wir uns in $\begin{eqnarray*} Z_{5} \end{eqnarray*}$ bewegen, $\begin{eqnarray*} x-1 \end{eqnarray*}$ dasselbe ist wie $\begin{eqnarray*} x+4 \end{eqnarray*}$ .

Und woher erhalte ich zum Schluss den ggT= $\begin{eqnarray*} x^{2}+1 \end{eqnarray*}$ ? Ist es nicht einfach $\begin{eqnarray*} x+1 \end{eqnarray*}$ .

Außerdem ist ein Fehler in der Lösung. Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} x^{3}-x^{2}-x+1 \end{eqnarray*}$ ist doch $\begin{eqnarray*} 3x^{2}-2x-1 \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} 3x^{2}-2x-x \end{eqnarray*}$ .

Ich hoffe jemand von euch, könnte mir bei der Beantwortung weiterhelfen smile

Viele Grüße

Chris

21.02.2017, 16:34

razzbs

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Ich habe noch ein weiteres Beispiel gefunden, wo die Lösung an einer Stelle nicht nachvollziehbar ist.

$\begin{eqnarray*} S = Z_{5}[x] \end{eqnarray*}$

Ich habe folgendes Polynom $\begin{eqnarray*} h(x) = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x^{7}+4x^{6}+2x^{2}+3x+3 \in S \end{eqnarray*}$

Das abgeleitete Polynom wäre $\begin{eqnarray*} h'(x) = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 2x^{6}+4x^{5}+4x+3 \end{eqnarray*}$

Bis hierhin ist alles verständlich. Allerdings wird der Teiler folgendermaßen angegeben $\begin{eqnarray*} q_{1} = \frac{x^{7}}{2x^{6}} = 3x \end{eqnarray*}$

Mit normaler Polynomdivision wäre ich auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}x \end{eqnarray*}$ gekommen. Wie kommen diese $\begin{eqnarray*} 3x \end{eqnarray*}$ zustande?

Weiß jemand von euch die Lösung?

Viele Grüße

Chris

21.02.2017, 18:37

Elvis

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$\begin{eqnarray*} 2\cdot 3=6 \equiv 1(mod 5) \Rightarrow 2^{-1}=3 \end{eqnarray*}$

21.02.2017, 18:48

razzbs

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Irgendwie stehe ich jetzt auf dem Schlauch. Woher kommt denn die $\begin{eqnarray*} 2*3 \end{eqnarray*}$ ?

Viele Grüße

Chris

21.02.2017, 19:33

Elvis

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2 mal 3 habe ich an meinen Fingern abgezählt Big Laugh

21.02.2017, 20:58

razzbs

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@Elvis: Das hilft mir leider nicht weiter smile

21.02.2017, 21:19

HAL 9000

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Grundvoraussetzung zum Rechnen in $\begin{align*} \mathbb{Z}_5[x] \end{align*}$ ist wohl, dass man das Rechnen im Körper $\begin{align*} \mathbb{Z}_5 \end{align*}$ einigermaßen beherrscht. Und da wirkt eine langwierige Diskussion um die Banalität $\begin{align*} 2^{-1}=3 \end{align*}$ doch ziemlich befremdlich, noch dazu garniert mit dem unsäglichen "hilft mir nicht weiter".

21.02.2017, 21:36

razzbs

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Naja dass $\begin{eqnarray*} 2^{1} = 3 \end{eqnarray*}$ ist, ist mir klar. Aber woher bekomme ich die 2 von welcher ich dann das Inverse berechne? smile

22.02.2017, 08:10

Elvis

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2=3 kann nicht wahr sein.
Woher nimmt man in $\begin{eqnarray*} \mathbb F_5 \end{eqnarray*}$ das zu 2 inverse Element ? 0 gehört nicht zur multiplikativen Gruppe. 1 ist selbstinvers. Bleiben nur noch 2,3,4 übrig. Eine der 3 möglichen Multiplikationen 2*2,2*3*,2*4 muss zum Ziel führen. Warum sucht man nach dem zu 2 inversen Element ? Weil $\begin{eqnarray*} \frac 1 2=2^{-1} \end{eqnarray*}$ ist.

22.02.2017, 17:44

razzbs

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@Elvis: Vielen Dank für deine Rückmeldung smile

Sollte auch $\begin{eqnarray*} 2^{-1} = 3 \end{eqnarray*}$ heißen. Nochmal zum Verständnis:

Da wir uns in den ganzen Zahlen bewegen, kann man $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ nicht als q1 benutzen? Daher müssen wir das Inverse dazu finden? Ich kann weder eine Erklärung noch ein anderes Beispiel finden, wo erklärt / beschrieben wird, dass man das Inverse zu q1 bestimmen und verwenden soll?

Wenn wir $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ als q1 hätten, müssen wir dann das Inverse zur 3 rausfinden? Also quasi $\begin{eqnarray*} 3^{-1} \end{eqnarray*}$ ?

Viele Grüße

Chris

22.02.2017, 18:06

Elvis

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Es geht hier nicht um ganze Zahlen sondern um $\begin{eqnarray*} Z_5=\{0,1,2,3,4\} \end{eqnarray*}$ . Da steht erst einmal nicht so etwas wie $\begin{eqnarray*} \frac 1 2 \end{eqnarray*}$ zur Verfügung. Allerdings ist diese Menge mit geeigneter Addition und Multiplikation ein Körper, also kann man doch auch durch jedes von 0 verschiedene Element dividieren. Das macht man, so wie immer, indem man mit dem inversen Element multipliziert, also definiert man $\begin{eqnarray*} \frac 1 2 :=1\cdot 2^{-1} \end{eqnarray*}$ , und das ist eben gleich $\begin{eqnarray*} 3\in Z_5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac 1 3 \end{eqnarray*}$ ist nicht "quasi" $\begin{eqnarray*} 3^{-1} \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} \frac 1 3 = 3^{-1}=2 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} Z_5 \end{eqnarray*}$

22.02.2017, 18:35

razzbs

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Gut

Jetzt habe ich es verstanden Augenzwinkern