Geradengleichungen |
| 08.08.2012, 12:04 | gerdi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Geradengleichungen ich suche Hilfe für folgende Aufgabe im Anhang: Ich habe versucht die Straßen als Geraden in ein Koordinatensystem zu legen, der Nullpunkt ist der Kreuzungspunkt. Ich weiß jetzt nicht, wie ich die Geschwindigkeiten in die Geradengleichungen bekomme. Da die Straßen sich rechtwinklig kreuzen ist m1 = -1/m2, hier komme ich nicht weiter. Die Aufgabe soll nicht mittels Vektorrechnung gelöst werdenl, wie mir das schon vorgeschlagen wurde. Wer weiß einen Weg ? Vielen Dank gerdi |
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| 08.08.2012, 12:12 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Versuch mal, die Zeit zu berechnen, die Beide brauchen, bis sie an der Kreuzung sind. (s=v*t) Wenn das nicht gleichzeitig ist, hast du a gelöst. Zu b: Bestimme, wo das zweite Fahrzeug ist, wenn das erste die Kreuzung erreicht. Das dürfte der kleinste Abstand zwischen den Beiden sein Lg kgV 
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| 08.08.2012, 12:13 | mathecoach | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Gerafdengleichungen Zu a) Du kannst schon die Achsen verwenden. Nimm als Starpunkt für das Auto A (0,2) und für das Auto B (0,1.5). Als Richtungsvektor bietet sich bei A ein Vielfaches von (-1,0) und bei B (0,-1) an, welcher die Geschwindigkeit repräsentiert. Der Parameter wird die Zeit sein und der darf bei beiden Geraden für den Ursprung nicht gleich sein. Zu b) Zieh die eine Geradengleichung von der anderen ab, mit gleichen Parametern und berechne das Extremum nach dem parameter. Viel Erfolg |
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| 08.08.2012, 12:18 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Gerafdengleichungen @ mathecoach: Da du neu hier bist: 1. Es ist nicht üblich, sich in bereits laufende Threads einzuklinken (siehe dazu das Boardprinzip) 2. Die Fragestellerin hat ausdrücklich darauf hingewiesen, dass die Aufgabe ohne Vektorrechnung gelöst werden soll. Achte bitte in Zukunft darauf. Ansonstan aber: 
on BoardLg kgV |
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| 08.08.2012, 12:21 | Hunter Sweetwater | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Geradengleichungen Für Aufgabe a brauchst du weder eine Geradengleichung noch die Vektorrechnung. Vereinfacht kannst du dir vorstellen, dass sich beide Fahrzeuge auf der selben Straße befinden und der Kreuzung nähern. Das macht keinen Unterschied für dieses Problem. Rechne einfach aus, wie lange jedes der Fahrzeuge benötigt, um die Kreuzung zu erreichen. Unterscheiden sich diese beiden Zeiten, dann sind die beiden Fahrzeuge niemals gleichzeitig auf der Kreuzung und können daher nicht kollidieren. Bei Aufgabe b brauchst du dann schon Geradengleichungen. Ich würde als Gleichung für Fahrzeug A vielleicht die Winkelhalbierende des I. Quadranten empfehlen. Dann sind beide Geraden auch Funktionen. Allerdings gebe ich zu, dass sich das ohne Vektorrechnung nicht so leicht umsetzen lässt. Ich bin selbst noch am Überlegen. Da kam es wohl zu mehreren Überschneidungen, ich halt ich mal raus. 
PS:
Für dieses Aussage hätte ich gerne einen Beweis, da ich das im Moment nicht so sehe. Bei der Entfernung gehe ich von einer Luftlinie und sogar maximal zwei Lösungen aus. Eine zum Zeitpunkt vor dem Erreichen der Kreuzung und eine dahinter. |
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| 08.08.2012, 12:23 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@kgV: In diesem Fall hat sich das mit mathecoach sicher nur überschnitten 
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| 08.08.2012, 12:27 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@ Equester: Stimmt, hatte die Zeiten nicht beachtet... @ mathecoach: Entschuldige bitte meine Kritik... |
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| 08.08.2012, 12:40 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Luftlinie gilt auch für mich. Die beiden Fahrzeuge nähren sich der Kreuzung mit einer konstanten, aber unterschiedlichen Geschwindigkeit an. Dabei wirken die Geschwindigkeiten in die selbe Richtung, die Fahrzeuge fahren auf den Selben Punkt zu. Von dem Moment an, wo das erste Fahrzeug die Kreuzung überquert, entfernt es sich von diesem Punkt, während das Zweite sich diesem Punkt nähert. Da das Schnellere Fahrzeug die Kreuzung zuerst erreicht, ist die Geschwindigkeit, die sich von der Kreuzung entfernt größer als jene, die sich der Kreuzung nähert-> Die Abstände wachsen wieder. PS. Das gilt nur für den Fall, dass das Schnellere Auto die Kreuzung zuerst überquert |
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| 08.08.2012, 12:47 | mathecoach | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Gerafdengleichungen Recht herzlichen Dank für die netten Willkommensgrüße. Sicher hat sich das nur überschnitten. Allerdings hab ich nur auf die angehängte Datei geachtet, daher mein Ansatz mit der vektoriellen Geradengleichung. Aber für b) solltest Du deinen Ansatz überdenken, der ist m.E. nicht korrekt. Tatsächlich haben sie nach knapp 1,5 Minuten den geringsten Abstand. Da ist B schon an der Kreuzung vorbei und A hat sie noch vor sich. |
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| 08.08.2012, 13:03 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@ mathecoach: Naja, ich hatte es noch nicht nachgerechnet. Ich muss jetzt weg, willst du übernehmen? |
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| 08.08.2012, 13:07 | Hunter Sweetwater | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das stimmt so nicht. Die Geschwindigkeiten wirken in unterschiedlicher Richtung.
Das ist zwar richtig, aber bei dieser Aufgabe irrelevant. Es geht um die Entfernung der beiden Fahrzeuge voneinander und nicht darum, wie weit sie von einem Konstanten Punkt (der Kreuzung) entfernt sind. Ich hab die Aufgabe mittlerweile auch gerechnet und komme auf einen Zeitpunkt t=0,024719h = 1,48314 min Allerdings habe ich mit der Vektorrechnung gearbeitet, da ich ohne diese noch kein vernünftiges Lösungskonzept entwickeln konnte. |
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| 08.08.2012, 13:13 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Als Lösungsmöglichkeit kommt eine Extremwertberechnung in Frage. Dazu muss man eine Gleichung für den grundsätzlichen Abstand der Fahrzeuge voneinander aufstellen. Leider habe ich jetzt keine Zeit, die Aufgabe zu berechnen, ich kann mich heute Abend damit befassen, falls hier niemand mit einer anderen Methode weiter gekommen sein sollte. Großes Aber zu meinem Vorschlag: Es ist nicht klar, ob der Fragesteller schon mit Extremwertaufgaben gearbeitet hat.
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| 08.08.2012, 13:28 | mathecoach | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@Hunter Sweetwater, auf das gleiche Ergebnis bin ich auch gekommen, aber als Grundlage diente hier wieder meine vektoriellen Geradengleichungen. Meine Idee wäre noch: A bewegt sich auf der x-Achse und seine Entfernung zum Ursprung ist in Abhängigkeit von der Zeit t: **** B bewegt sich auf der y-Achse und seine Entfernung zum Ursprung ist in Abhängigkeit von der Zeit t: **** Die Abstandsfunktion kann man dann mittels Pythagoras (Länge eines Vektors geht ja nicht :-)) ermitteln: **** Dann sollte der Rest mit ableiten etc. machbar sein. **** edit von sulo: Ich habe die aufgestellten Geradengleichungen und die Abstandsgleichung entfernt. Ein bisschen Arbeit darf für den Fragesteller auch noch übrig bleiben.
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| 08.08.2012, 14:19 | Hunter Sweetwater | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@mathecoach Genau diesen Ansatz habe ich auch verfolgt. Jedoch ist das ganze etwas schwer zu vermitteln und ist genau genommen nichts anderes als Vektorrechnung. A liege auf der waagerechten Gerade mit der Gleichung y(x)=0. Die x-Koordinate ist damit frei wählbar und man kann sie mit dem Weg-Zeit-Gesetz modellieren. Für die Position des Fahrzeugs ergibt sich damit: **** B liegt auf der Y-Achse und sein Weg lässt sich mit der Gleichung x=0 darstellen. Somit ist die y-Koordinate frei wählbar und wird mittels des Weg-Zeit-Gesetzes modelliert. Für den Punkt B ergeben sich daher folgende Koordinaten: **** Der Abstand der Punkte berechnet sich dann wie von Mathecoach beschrieben. Aber irgendwie ist das ganze letztendlich ja doch Vektorrechnung, nur das man es nicht so aufschreibt. Vielleicht meinte der Lehrer ja nur, dass ihr den Abstand nicht allein über die Vektorrechnung bestimmen könnt und wollte euch so auf die Notwendigkeit der Differentalrechnung hinweisen. Komisch ist das ganze aber trotzdem. Ohne Vektorrechnung geht es aus meiner Sicht einfach nicht. **** edit von sulo: Ich habe die aufgeschriebenen Koordinaten entfernt. Nicht der Helfer soll zeigen, dass er die Aufgabe lösen kann, vielmehr ist der Fragesteller gefordert, mit unserer Hilfe die Lösung zu finden. |
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| 09.08.2012, 11:38 | gerdi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo und vielen Dank an alle Ich bin jetzt folgenden Weg gegangen: a)Hier braucht nur die Zeit berechnet werden, die beide bis zur Kreuzung benötigen, diese sind verschieden b) Fahrzeug A habe ich auf die x-Achse gesetzt im Punkt(-2;0), als Gleichung für die veränderlich x-Koordinate erhalte ich dann x(t) = -2+50t Fahrzeug B "fährt" auf der y-Achse und startet im Punkt (0;1,5) mit y(t) = 1,5 -80t als Abstand der beiden erhalte ich dann: f(t) = (-2+50t)^2 + (1,5-80t)^2 f(t) = 8900t^2 - 440t + 6,25 f'(t) = 17800t - 440 ----> 17800t = 440 --> t = 0,024719 f''(t) = 17800 --> Min Noch mal vielen Dank gerdi |
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| 09.08.2012, 13:15 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Freut mich, dass du über die Extremwertberechnung die richtige Lösung für den Zeitpunkt der kürzesten Entfernung ermitteln konntest. 
Beachte, dass jedoch nicht nach dem Zeitpunkt sondern nach der Entfernung gefragt wurde.
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