Integration über Normalbereiche

08.08.2012, 13:38

Jonnyfd

Integration über Normalbereiche

Meine Frage:
Ist mehr ein Verständnisproblem.

Aufgabenstellung:
Sei a>0 ein fester Parameter. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Bereiches B, der zwischen den durch die Gleichungen xy = a^2 und x+y = (5/2)a definierten Kurven liegt, wobei x>0 ist.

Meine Ideen:
Als erstes berechne ich die Schnittpunkte, x1 und x2, der Kurven:

diese sind x1=2a und x2=(a/2).

Dann stelle ich die beiden in der Aufgabenstellung gegebenen Gleichungen nach y um und ermittle nun somit die y-Grenzen.

y1=(a^2)/x und y2=(5/2)a-x.

Nun Kann ich die von den beiden Kurven eingeschlossene Fläche durch:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{\left[x_1,x_2\right]} \!\int\limits_{\left[y_1,y_2\right]} \! 1 \,\mathrm{d} y \mathrm{d} x. \end{eqnarray*}$

berechnen, weil dieses Doppelintegral dem Produkt der einzelnen Intervalllängen [x1,x2] und [y1,y2] entspricht (was ja die eingeschlossene Fläche ist).

Mein Verständnisproblem ist, dass ich nicht recht zuordnen kann, was ich als obere Grenze und was als untere Grenze nehmen soll. Eine Aufklärung mit Begründung währe sehr hilfreich.

Danke im voraus

Gruß Jonny

08.08.2012, 16:46

Che Netzer

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RE: Integration über Normalbereiche
Hallo,

Zitat:

Original von Jonnyfd
berechnen, weil dieses Doppelintegral dem Produkt der einzelnen Intervalllängen [x1,x2] und [y1,y2] entspricht (was ja die eingeschlossene Fläche ist).

Nein, sonst wäre das ja ein Rechteck. Das zweite Intervall ist ja vom Wert von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abhängig.

Zitat:

Mein Verständnisproblem ist, dass ich nicht recht zuordnen kann, was ich als obere Grenze und was als untere Grenze nehmen soll. Eine Aufklärung mit Begründung währe sehr hilfreich.

Da musst du dir überlegen, welcher Wert von $\begin{eqnarray*} y_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_2 \end{eqnarray*}$ größer ist.

Ganz genau sähe das also so aus:
$\begin{eqnarray*} \int_{\min(x_1,x_2)}^{\max(x_1,x_2)}\!\!\int_{\min(y_1(x),y_2(x))}^{\max(y_1(x),y_2(x))}\mathrm dy\mathrm dx \end{eqnarray*}$ ,
wobei $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ die Schnittstellen sind und $\begin{eqnarray*} y_1(x) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} y_2(x) \end{eqnarray*}$ wie von dir angegeben.

Ihr hattet doch in der Schule sicher mal Integrale wie
$\begin{eqnarray*} \int_{x_1}^{x_2}\lvert f(x)-g(x)\rvert\mathrm dx \end{eqnarray*}$ ,
oder? Das hier ist eigentlich dasselbe.

mfg,
Ché Netzer

08.08.2012, 17:06

Jonnyfd

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Achso, jetzt habe ich es verstanden.

Danke für die rasche Antwort.

Gruß Jonny

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