Potenzreihe binom(2n,n)x^n, Randgebiet mittels Leibniz

08.08.2012, 14:34

Mathilim

Potenzreihe binom(2n,n)x^n, Randgebiet mittels Leibniz

Meine Frage:
Guten Tag
Ich muss den Konvergenzradius dieser Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty}\binom{2n}{n}x^n \end{eqnarray*}$ berechnen und dann auch noch herausfinden ob sie auch auf dem Rand konvergiert.
Den Konv.Rad. konnte ich mit dem Quotientenkriterium berechnen: $\begin{eqnarray*} \varrho=\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ Ich muss jetzt noch zeigen, dass die Reihe auch für $\begin{eqnarray*} x=-\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ konvergiert und dabei das Leibniz Kriterium anwenden. Nach dem Leibniz Kriterium, muss ich also noch zeigen, dass die Folge eine monoton fallende Nullfolge ist, also $\begin{eqnarray*} \frac{\binom{2n}{n}}{4^n}\rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{\binom{2n+2}{n+1}}{4^{n+1}}\leqslant \frac{\binom{2n}{n}}{4^n} \end{eqnarray*}$

Gruss

Meine Ideen:
Wie ich das hinkriege weiss ich wirklich nicht....

08.08.2012, 15:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mathilim
also $\begin{eqnarray*} \frac{\binom{2n}{n}}{4^n}\rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{\binom{2n+2}{n+1}}{4^{n+1}}\leqslant \frac{\binom{2n}{n}}{4^n} \end{eqnarray*}$

Bzw. äquivalent dazu

$\begin{eqnarray*} \frac{\binom{2n+2}{n+1}}{\binom{2n}{n}} \leq 4 \end{eqnarray*}$ .

Einfach mal die Fakultätsdefinition der Binomialkoeffizienten links einsetzen, dann kann fast alles weggekürzt werden...

P.S.: Eigentlich hättest du das doch noch kennen müssen, von der Berechnung des Konvergenzradius via Quotientenkriterium her - schon wieder vergessen? unglücklich

09.08.2012, 13:24

Mathilim

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ou ja war wirklich bisschen blöd Big Laugh

Danke dir!

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