Gauß'sche Menge

Neue Frage »

Monoid Auf diesen Beitrag antworten »
Gauß'sche Menge
Hallo,
Habe noch eine Frage: Wir bestimme ich ?
meine Ideen sind nur die Normabbildung, die ich für schon defieniert habe. Aber dann habe ich so eine schwere Gleichung: .

Gruß
Mmm
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

In Anbetracht der Tatsache dass x und y ganze Zahlen sein sollen, lässt sich die Gleichung
Zitat:

doch recht banal lösen.
Und der Weg den du dorthin bestritten hast ist richtig (und imo der deutlich anspruchsvollere Teil der Aufgabe.)
 
 
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »
Gaußche Menge
Hallo,
Ja, aber ich finde diese Gleichung aber nicht sehr einfach, denn sie hat unendlich viele Lösungen. Mein momentaner Lehrer, ein Professor. Der vertut sich also nicht. Er sagt auch das man genau angeben kann. Ich weiß nicht wie.

Gruß
Mmm
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gaußche Menge
hallo Mmm,
kann das sein, dass die norm in diesem fall und nicht ist, denn sonst hätte man ja wirklich nur eine lösung.
gruss ollie3
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gaußche Menge
Hallo,
Ichdenle nicht, dass sich mein Lehrer we gesagt ein Professor mit dem ich über e-mail kontaktiere sich vertut. Wenn man die Norm für komplexe Zahlen defieniert, hat man folgendes: (x+iy)(x-iy)=. Das + wegen dem i.

Wenn man das für diese macht, hat man Und dann sagt er was ja auf jeden Fall stimmt, dass diese Gleichung unendlich viele Lösungen hat, aber man kann genau angebenkann. Wie?
Er macht im moment Urlaub, von daher möchte ich ihn nicht stören.

Gruß
Hamilton-Tensor

edit von sulo: Ich habe die Textpassagen aus dem Latex entfernt, damit die Lesbarkeit des Threads erhalten bleibt. Bitte schreibe keine langen Sätze in Latex. Man kann einzelne Formeln in einzelne Latex-Klammern setzen. Die Textpassagen dazwischen sollten in normalem Text bleiben.
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gaußche Menge
hallo Mmm,
ich habe also doch recht gehabt (und vielen dank an sulo, hatte das wesentliche
vorher nicht erkennen können), die gleichung lautet also
, und welche form die unendlich vielen lösungen
haben müssen, wird man durch teilbarkeitsuntersuchungen (wahrscheinlich
mit modulo-gleichungen) feststellen, melde mich wieder, wenn ich das ergebnis
habe...
gruss ollie3
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gaußche Menge
Hallo,
Und? Vortschritte? Oder ist die Aufgabe dür einen Schüler wie. Mich unlösbar?

Gruß
Mmm
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gaußche Menge
Hallo Mathe³,

Ich nehme mal an, dass Du die Einheiten (also die Teiler von 1) im Ring finden willst. (Die Notation kenne ich nämlich nicht.)

Für dieses Problem sucht man dann alle Elemente mit Norm 1, aber auch mit Norm -1. Also sowohl die Lösungen von:

als auch von:


Es reicht hierbei, anzunehmen.

Ich bin da heuristisch rangegengen und habe mir vom Rechner ein paar Lösungen ausrechnen lassen. Mit ein wenig rumprobieren habe ich eine rekursive Vorschrift für solche Paare gefunden, von der man sich überlegen kann, dass sie auch wirklich alle Paare trifft.
Mit einem Trick, der bei den Fibonacci-Zahlen Verwendung findet, kann man dann auch ein explizite Formel angeben.

Gruß,
Reksilat.

PS: Man schreibt Fortschritt mit 'F' und definiert ohne 'ie'
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo zusammen,

man bekommt die Einheitengruppe dieses Rings auch ziemlich schnell mit dem Einheitensatz von Dirichlet in den Griff. Gerade schreibe ich vom Handy aus. Von einem Rechner mit Internetzugang kann ich das auch mal genauer erklären.
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »
Gaußches
@reksilat:
Hallo,
Ja habe mich über die Rechtschreibung dummerweise keine Gedanken gemacht. Interassante Seite, aber was bringt mir das überhaupt in meinem Problem?

@jester:
Ja, habe auch nicht ganz verstanden was du meinst, aber ich werde die mir momentan unbekannten Begriffe in deinem Beitrag auf Wiki. oder so klar machen.


Hoffe ihr meldet euch noch mal.
Bis dann!

Gruß
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe gerade, dass du angibst, 11 Jahre alt zu sein. Das halte ich schon alleine aufgrund der hier gestellten Frage für unwahrscheinlich, aber sei's drum. verwirrt
Ich bin mir nicht sicher, wie viel du hiervon verstehen wirst, trotzdem beschreibe ich mal das angedachte Vorgehen.

Sei ein algebraischer Zahlkörper und die Menge der Einbettungen , die sich zu reellwertigen Einbettungen sowie Paaren komplexer Einbettungen gruppieren, sodass . Sei der Ganzheitsring von .
Dirichlet sagt dann, dass eine endlich erzeugte abelsche Gruppe ist, deren Torsionsanteil die Gruppe der in enthaltenen Einheitswurzeln ist und deren freier Anteil Rang hat. Die Erzeuger des freien Anteils heißen Grundeinheiten.

Hier haben wir also als Einheitengruppe , zu bestimmen ist noch eine Grundeinheit .
Fixiert man eine Einbettung in , so hat genau eines der Elemente von eine Wert größer 1 ( sei der nichttriviale Galoisautomorphismus von ), ohne Einschränkung sei dies , sonst kann man umbenennen. Die Folge ist dann streng monoton steigend, sodass man für die kleinste Einheit größer als wählen kann.
So kommt man hier schnell darauf, dass . ist also eine geeignete Grundeinheit.
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo jester,
danke für deine tolle antwort, aber ich befürchte ein 11-jähriger wird das
wohl kaum verstehen... verwirrt
gruss ollie3
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »
Gaußcher ring
Hallo,
Irgenwie werde ich es schaffen, die Antwortzu verstehen, was ist eine Einbettung?

Gruß
Mmm
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, falls dir die ganze Theorie fehlt, die diesem Resultat zugrundeliegt, dann solltest du zunächst etwas über lineare und reine Algebra lernen. Bis man diesen ganzen Stoff allerdings so richtig verinnerlicht hat, vergeht aber mal locker ein Jahr, wenn man sehr sehr fleißig und zielgerichtet arbeitet... Das fängt dann an bei grundlegenden Strukturen, wie Gruppe, Ring und Körper sowie Vektorräumen, ohne die man keine Körpererweiterungen verstehen kann. Dann die ganze Theorie der Körpererweiterungen, Normalität, Separabilität, Galoiserweiterungen, algebraischer Abschluss. Dann kann man so langsam in die algebraische Zahlentheorie einsteigen, welcher das zitierte Resultat entstammt.
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »
Gaußcher ring
Was ist denn eine Einbettung, was eine Gruppe, eine vektorraum, ein Ring... ist weiß ich.

Gruß
Mmm
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gaußcher ring
Man nennt eine Einbettung von X in Y, wenn ( X,Y topologische Räume sind ) ein Homomöorphismus ist, nicht?
Irgendwie werde ich das hinkriegen, glaub mir.


Gruß
Mmm
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gaußcher ring
Dann ist eine reele bzw. Komplexe Einbettung eine Einbettung mit f: AteilmengeC->C nicht?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich erkläre dir die Vorhergehensweise von jester. nochmal von einem etwas elementareren Standpunkt. Viel einfacher geht es dann aber wohl nicht mehr. (Vielleicht hat ja Reksilat Lust seine Überlegungen darzustellen) Wenn dir dann noch Begriffe nicht klar sind, musst du dich wohl oder übel damit näher beschäftigen, was (wie jester schon erwähnt hat) viel mehr Zeit und Geduld benötigt als du offenbar wahr haben willst.

Zunächst einmal ist klar, dass mit jeder Einheit auch die Zahlen Einheiten sind.

Eine dieser vier Zahlen ist größer als 1. Es folgt: Wenn man also jede Einheit > 1 als Potenz einer sogenannten Grundeinheit darstellen kann, so sind ale Einheiten, durch gegeben, wobei ist. Und genau dies wollen wir zeigen (Das ist dann der Spezialfall des Einheitensatz von Dirichlet für reel-quadratische Zahlkörper, aber das ist dann schon eine große Kanone für den kleinen Spatz hier. Brauchen wir als gar nicht).

Wir können wie folgt vorgehen:

Zunächst zeigen wir, dass die Menge der Einheiten keinen Häufungspunkt außer der 0 hat, d.h. jede Folge von Einheiten, die gegen einen Grenzwert ungleich 0 konvergiert, ist schließlich konstant.

Als Schlussfolgerung erhalten wir, dass wir unter allen Einheiten, die größer als 1 sind, eine Minimale wählen können. Diese nennen wir und können dann zeigen, dass dies im Sinn unserer obigen Definition eine Grundeinheit ist, d.h. jede Einheit kann man als darstellen.

Das ist ganz einfach: Da die Folge streng monoton steigend und unbeschränkt ist, gibt es ein mit
, dies liefert

, also muss die letzte Ungleichung eine Gleichheit sein (Warum?) und wir sind fertig.


Nun zur Bestimmung von : Das ist im Allgemeinen nicht ganz so leicht, es gibt z.B. einen Algorithmus mit Hilfe von Kettenbrüchen. Aber hier ist es ganz leicht. Sei

Zunächst bemerken wir, dass von den vier Zahlen die Größte sein muss (Warum?).

Mit a und b schreiben sich diese vier Zahlen als .
Die größte davon ist natürlich diejenige, bei denen beide Koeffizienten positiv auftauchen. Also waren bei die Koeffizienten a und b beide positiv.

Bei haben wir das Glück, dass die kleinste Wahl a=1,b=1 schon zu einer Einheit führt, also muss das schon sein.
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »
Gaußcher Ring
Hallo,
Ja das meiste DEINES Beitrages habe ich verstanden, aber wieso sich aus der einen Ungleichung Gleichheit folgt weiß ich nicht. Als Eiheit bezeichnest du doch eine Zahl. Nur was hat dieses nü
Mit meiner Aufgabe zu tun? Wie Schlussfolgere ich die lösung?

Gruß
Mmm
tmo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gaußcher Ring
Zitat:
Original von Mathemathemathe
Hallo,
Ja das meiste DEINES Beitrages habe ich verstanden [...] Nur was hat dieses nü
Mit meiner Aufgabe zu tun? Wie Schlussfolgere ich die lösung?


Irgendwie widerspricht sich das Big Laugh


Zitat:
Original von tmo
Wenn man also jede Einheit > 1 als Potenz einer sogenannten Grundeinheit darstellen kann, so sind ale Einheiten, durch gegeben


Da steht doch direkt, was dieses (Eta übrigens) mit der Lösung zu tun hat. Es IST die Lösung.
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gaußcher Ring
Ja,
Vielen Dank für die Antwort. Doch wie kommt man auf so komplexe Lösungswege? Kommt das mit der Erfahrung? Ich werde die Aufgabe meiner Klassenlehrerin im Matheunterricht am Do stellen. Bin gespannt wie sie reagieren wird.

Gruß
Mmm
tmo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gaußcher Ring
Zitat:
Original von Mathemathemathe
Ich werde die Aufgabe meiner Klassenlehrerin im Matheunterricht am Do stellen. Bin gespannt wie sie reagieren wird.


Ist deine Lehrerin irgendwie besonders interessiert/motiviert, was sowas angeht? Denn ich würde vermuten, dass über 95% der Mathelehrer mit alg. Zahlentheorie mittlerweile wenig anfangen können. verwirrt

In der Schule fällt die Algebra ja sowieso völlig raus...


Wie man darauf kommt? Wenn man die Aussage nicht kennt, so bleibt einem sowieso erstmal nichts anderes übrig, als den vorgeschlagenen Weg von Reksilat einzuschlagen. Man lässt ein Programm über den laufen und findet so erstmal ein paar Einheiten. In diesem Fall hat man das vlt. das Glück zu erkennen, dass das irgendwie alles Potenzen von sind.

Vielleicht macht man dasselbe mit und sucht nach einem ähnlichen Phänomen. Weil man schon weiß, nach was man sucht, wird man dann natürlich sehr schnell fündig. (Wenn du alles verstanden hast, solltest du eigentlich nun auch ohne PC schnell dazu in der Lage sein anzugeben.)

Und dann kann man halt versuchen eine entsprechende Aussage zu beweisen. Mit etwas Erfahrung ist das dann in dem Fall kein Problem mehr.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gaußcher Ring
Zitat:
Original von Mathemathemathe
Ich werde die Aufgabe meiner Klassenlehrerin im Matheunterricht am Do stellen. Bin gespannt wie sie reagieren wird.


Das gefällt mir ganz und gar nicht. Erst lässt du dir die Aufgabe hier haarklein erklären, dann willst du deine Lehrerin damit konfrontieren.
Was willst du damit bezwecken?
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gaußcher Ring
Na ja, ich habe die Aufgabe schon am vor diesem Thema HIER gestellt, aber sie wollte ihr Ergebnis erst am do zeigen, ich vermute sie versteht noch nicht mal die Aufgabe, und habe dieselbe Aufgabe dann hier gestellt.

Gruß
Mmm
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gaußcher ring
Zitat:
Original von Mathemathemathe
Dann ist eine reele bzw. Komplexe Einbettung eine Einbettung mit A teilmenge nicht?


Stimmt das denn?

Gruß
Mmm
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Du bist hier mit deinen toplogischen Einbettungen auf dem falschen Dampfer, wir sind doch hier in der Körpertheorie.

Ist eine algebraische Körpererweitertung, so betrachtet man (nichttriviale) Körperhomomorphismen von L in den alg. Abschluss von K. Diese nennt man auch Einbettungen.

Im Fall ist z.b. interessant, ob das Bild einer solchen Einbettung im Körper der reellen Zahlen bleibt (reelle Einbettung) oder ihn verlässt (komplexe Einbettung)
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
Du bist hier mit deinen toplogischen Einbettungen auf dem falschen Dampfer, wir sind doch hier in der Körpertheorie.

Ist eine algebraische Körpererweitertung, so betrachtet man (nichttriviale) Körperhomomorphismen von L in den alg. Abschluss von K. Diese nennt man auch Einbettungen.

Im Fall ist z.b. interessant, ob das Bild einer solchen Einbettung im Körper der reellen Zahlen bleibt (reelle Einbettung) oder ihn verlässt (komplexe Einbettung)


L abbgebildet auf K^{linie} ?. Du meinst warscheinlich: L in K^{linie}
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ich meinte (Ich weiß jetzt gerade nicht, wie man diesen Pfeil mit dem geschwungenen Anfang für Injektionen macht...)
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

code:
1:
\hookrightarrow
ergibt . Augenzwinkern
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Wusst ich doch, dass das als stille Aufforderung verstanden wird Freude
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »
Gaußcher ring
Hallo,

Ja,he, he. Gibt gute Methoden smile

Ein Körperhomomorphismus ist doch eine Abbildung mit körper, hat dazu noch die selbe Eigenschaft, wie ein "normaler" Homomorphismus.?

Und ein trivialer?

Gruß
Mmm
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ein Körperhomomorphismus ist ein Ringhomomorphismus zwischen Körpern, d.h. er erfüllt und .

Das besondere an Körperhomomorphismen ist, dass sie entweder trivial (alles geht auf 0, du kannst ja mal nachprüfen, dass das die Homomorphismuseigenschaft erfüllt) oder injektiv sind.

Der Grund dafür ist einfach, dass der Kern stets ein Ideal ist und es im Körper nur 2 Ideale gibt.

Diese Besonderheit führt dann dazu, dass jeder nichttriviale (der ist sowieso uninteressant) Körperhomomorphismus eine Einbettung ist.
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »

Alles geht auf 0? Was heist das, meinst du alles wird auf 0 abbgebildet?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »
G
Also ist K^{linie} eine Notation für den algebraischen Abschluss von K?.

Gruß
Mmm
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Genauer gesagt eine Notation für den bis auf Isomorphie eindeutigen algebraischen Abschluss von K.
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »

Bis auf isomorphie? Meinst du K^{linie}. =^~ A, dass dann K^{linie} nicht eindeutig ist?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zwei algebraische Abschlüsse eines Körper sind stets isomorph zueinander. Das ist zunächst nicht klar, kann aber gezeigt werden.
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »
V
Hallo,

Wie wüsste ich leider nicht. Könntest du mir auch da helfen? Gott allerdings finde ich, wenn ich google, keine Definition des Torsionsanteiles.? Und naoch mal vielen Dank an die Geduld und die Antworten!

Gruß
Mmm
smile
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist doch nicht mehr sinnvoll, es ist nicht Sinn und Zweck dieses Forums, ein Lehrbuch zu ersetzen.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »