Komplexe Potenzreihe

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08.08.2012, 17:13	bruno2	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Potenzreihe hi, bei der folgenden aufgabe habe ich probleme: man soll den konvergenzradius bestimmen und in der komplexen ebene zeichnen. es geht um die reihe: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{2n}{3^n} (2z+i)^{2n+1} \end{eqnarray}$ meine ideen zum konvergenzradius: $\begin{eqnarray} \| \frac{2n3^{n+1} }{3^n2(n+1)} \| =3 \end{eqnarray}$ für n -> unendlich. $\begin{eqnarray} \| 2z+i \| <3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \| z+\frac{i}{2} \| <\frac{3}{2} \end{eqnarray}$ das wäre bei mir ein keis ohne rand um -(i/1) mit radius 3/2. in der musterlösung ist es jedoch ein kreis ohne rand um -(i/2) mit radius $\begin{eqnarray} \frac{\sqrt{3} }{2} \end{eqnarray}$ . kann mir jemadn erklären, was ich falsch mache?
08.08.2012, 17:57	Monoid	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: komplexe potenzreihe Hallöchen, Du kannst deinen Konvergenzradius noch um einiges vereinfachen, schreib doch $\begin{eqnarray} 3^{n+1} als 3 3^n \end{eqnarray*}$ . dann kannst du kürzen, und solltest dann noch vereinfachen, und dann denke ich kannst du die Betragszeichen wegfallen lassen, dann sollte der Grenzwert 1/3 ergeben. Gruß Hamilton-Tensor
08.08.2012, 18:31	bruno2	Auf diesen Beitrag antworten »
wie kommst du auf 1/3? $\begin{eqnarray} \| \frac{2n3^{n+1} }{3^n2(n+1)} \|=\frac{2n3^n3}{3^n(2n+2)} = \frac{6n}{2n+2} =\frac{6n}{n(2+\frac{2}{n}) } =3 \end{eqnarray*}$
08.08.2012, 18:38	Monoid	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Potenzreihe Ich sehe grade noch eine Fehler bei dir. Das $\begin{eqnarray} 3^{n+1} muss im Nenner stehen und das [latex]3^n \end{eqnarray}$ im Zähler. Gruß Hamilton-Tensor
08.08.2012, 19:25	bruno2	Auf diesen Beitrag antworten »
bist du dir sicher? die formel für den konvergenzradius ist doch $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \| \frac{a_{n} }{a_{n+1} } \| \end{eqnarray}$
08.08.2012, 20:07	Monoid	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Potenzreihe Hallo, Ich kenne die Defintion als: $\begin{eqnarray} \|a_(n+1)/(a_n)\| \end{eqnarray}$ . Gruß Hamilton-Tensor
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09.08.2012, 00:51	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Potenzreihe Um hier mal aufzuklären: Die Berechnung des Konvergenzradius vom Fragesteller ist vollkommen korrekt: $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty}\left\lvert\frac{a_n}{a_{n+1}}\right\rvert \end{eqnarray}$ berechnet direkt den Konvergenzradius. Der Kehrwert davon wird beim Quotientenkriterium verwendet. Ich hoffe, es ist klar, wieso; ansonsten fragt ruhig nochmal nach... Dann zurück zur eigentlichen Frage: Du hast hier keine "normale" Potenzreihe, sieh dir mal den Exponenten an. Zuerst kannst du ein $\begin{eqnarray} (2z+i) \end{eqnarray}$ aus der Reihe ziehen, das ändert ja nichts an der Konvergenz. Zurück bleibt $\begin{eqnarray} (2z+i)^{2n}=:\tilde z^n \end{eqnarray}$ . Daher kommt dann die Wurzel.
09.08.2012, 06:45	Monoid	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Potenzreihe Hallo, Was für ein dummes Missverständnis. Na ja, dann hat auf you-tube eben einer Schrott erzählt. Gruß Hamilton-Tensor
09.08.2012, 10:57	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Potenzreihe Das muss nicht sein; vielleicht ging es da ja eigentlich um das ganz normale Quotientenkriterium. Oder wurde explizit gesagt, dass dieser Grenzwert der Konvergenzradius sein soll?
09.08.2012, 11:17	bruno2	Auf diesen Beitrag antworten »
danke für den klärenden beitrag! achso. dann funktioniert das also so? $\begin{eqnarray} \frac{2n3^{n+1}(2z+i) }{3^n2(n+1)(2z+i)} \|=\frac{2n3^n3}{3^n(2n+2)} = \frac{6n}{2n+2} =\frac{6n}{n(2+\frac{2}{n}) } =3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ((2z+i)^n)^2=3 \end{eqnarray}$ wurzel ziehen: $\begin{eqnarray} (2z+i)^n=\sqrt{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \| 2z+i\| =\sqrt{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \| z+\frac{i}{2} \| =\frac{\sqrt{3} }{2} \end{eqnarray}$ passt das so? was hälst du von der version? $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{2n}{3^n} (2z+i)^{2n+1} \end{eqnarray}$ substitution y=2z+i $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^\infty (\frac{y^2}{3})^n 2ny \end{eqnarray}$ geometrische reihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^\infty (\frac{y^2}{3})^n 2ny \end{eqnarray}$ (betrag muss kleiner als eins sein, damit das ganze konvergeirt) $\begin{eqnarray} y^2 \leq 3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \| y \| \leq \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ dann weiter wie oben. das mit dem kehrwert beim quitientenkriterium und konvergenzradius weiß ich zwar, verstehen tu ichs jedoch nicht (also dass beim einen der kehrwert benutzt wird..) kannst du das auch noch erklären? wäre super!
09.08.2012, 11:53	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Die erste Rechnung stimmt größtenteils. Den Grenzwert hast du ja eigentlich schon berechnet. Das $\begin{eqnarray} 2z+i \end{eqnarray}$ hättest du auch direkt aus der Reihe ziehen können und das = stimmt so nur, wenn du noch den Limes dazuschreibst. Danach brauchst du um $\begin{eqnarray} 2z+i \end{eqnarray}$ Betragsstriche und es muss natürlich < statt = heißen. Das "hoch n" kannst du dir dabei aber auch sparen. Die andere Version geht so leider nicht. Du vergisst den Faktor $\begin{eqnarray} 2n \end{eqnarray}$ , daher ist es keine geometrische Reihe. Zum Kehrwert: Wir haben als allgemeine Potenzreihe $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^\infty a_nz^n \end{eqnarray}$ . Nach dem Quotientenkriterium muss $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty}\left\lvert\frac{a_{n+1}z^{n+1}}{a_nz^n}\right\rvert<1 \end{eqnarray}$ sein, damit die Reihe konvergiert. Das $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ kann jetzt gekürzt werden und wir erhalten $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty}\left\lvert\frac{a_{n+1}z}{a_n}\right\rvert<1 \end{eqnarray}$ . Jetzt teilen wir durch $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty}\left\lvert\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\rvert<\left\lvert\frac1z\right\rvert \end{eqnarray}$ und bilden den Kehrwert. Anschaulich bestimmen wir mit $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty}\left\lvert\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\rvert \end{eqnarray}$ , wie schnell die Koeffizienten konvergieren bzw. divergieren. Damit die ganze Reihe konvergiert, müssen die Potenzen mindestens so schnell konvergieren (bzw. dürfen höchstens so schnell divergieren), dass sie im Produkt einen Wert unter 1 ergeben; dann ist also genau der Kehrwert des obigen Bruches der Bereich, in dem sich die Konvergenzgeschwindigkeit der Potenzen aufhalten darf.
09.08.2012, 12:19	bruno2	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, super. jetzt hab ich's! vielen dank!!

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