Messbarkeit in Koordinate

08.08.2012, 18:23	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Messbarkeit in Koordinate Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} (\Omega,\mathcal{F},P) \end{eqnarray}$ ein Wahrscheinlichkeitsraum. Außerdem sei $\begin{eqnarray} f\colon\Omega\times\Omega\to\mathbb{R} \end{eqnarray}$ in der ersten Koordinate $\begin{eqnarray} \mathcal{F} \end{eqnarray}$ -messbare Funktion. Was genau bedeutet das: messbar in der ersten Koordinate? Meine Ideen: Wenn es in beiden Koordinaten messbar wäre, müsste ja gelten $\begin{eqnarray} f^{-1}(C)\in\mathcal{F}\times\mathcal{F} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} C\in\mathcal{B}(\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ . Aber wie ist das mit der Messbarkeit in der ersten Koordinate gemeint? Was muss da gelten? Ich kann mir da gerade nichts drunter vorstellen.
13.08.2012, 12:06	speedyschmidt	Auf diesen Beitrag antworten »
Ohne das je so gesehen zu haben, würde ich intuitiv sagen, dass das einfach heißt, dass für jedes $\begin{eqnarray} y\in \Omega \end{eqnarray}$ gilt, dass $\begin{eqnarray} g_y(\cdot):=f(\cdot, y) \end{eqnarray}$ messbar ist, d.h. $\begin{eqnarray} g^{-1}_y(C)\in \mathcal F \end{eqnarray}$ für alle Borelmengen $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ und alle $\begin{eqnarray} y\in \Omega \end{eqnarray}$ .

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