Stetigkeit eines Funktionals zeigen

09.08.2012, 01:24	Werner Lorant	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit eines Funktionals zeigen Meine Frage: Hallo Forum, Sei H Hilberfunktionenraum. ich möchte gerne Stetigkeit des Funktionals $\begin{eqnarray} \delta_x : H \rightarrow R , \quad f \mapsto f(x) \end{eqnarray}$ für alle x nachweisen. Meine Ideen: Das Thema kommt aus der Lerntheorie, und mit Hilfe eines Tricks (repräsentativer Kern, für die Experten) gelingt die Abschätzung $\begin{eqnarray} \|\delta_x(f)\| = \|f(x)\| \leq \|\|f\|\|_H \|\|k(x,.)\|\|_H \end{eqnarray}$ Ich verstehe nicht, warum aus dieser Abschätzung die Stetigkeit des Funktionals folgt. Es wurde doch lediglich gezeigt, dass delta beschränkt ist für beliebige f. Vielen Dank!
09.08.2012, 01:30	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit eines Funktionals zeigen Hallo, die Definition von $\begin{eqnarray} \delta_x \end{eqnarray}$ sieht für mich ganz danach aus, dass das Funktional linear ist, womit doch alles geklärt wäre, oder ist es hier doch nicht linear? mfg, Ché Netzer
09.08.2012, 01:46	Werner Lorant	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit eines Funktionals zeigen stimmt. $\begin{eqnarray} \|\delta_x (f_n -f)\| = \|\delta_x (f_n) - \delta_x (f)\| \leq \|\|f_n - f\|\| \end{eqnarray}$ ... steht zwar nicht dabei, aber bestimmt ist es linear. oh man... THNX
09.08.2012, 01:51	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit eines Funktionals zeigen Bei dir fehlt rechts noch ein Faktor, aber generell zeigt man die Stetigkeit ja folgendermaßen für beschränkte lineare Funktionen: $\begin{eqnarray} \lVert Ax-Ay\rVert=\lVert A(x-y)\rVert\leq\lVert A\rVert\lVert x-y\rVert \end{eqnarray}$ und hat damit sogar Lipschitz-Stetigkeit. (falls es nicht bekannt ist: Für lineare Funktionen sind Beschränktheit und Stetigkeit äquivalent. Es reicht sogar Stetigkeit in einem einzigen Punkt) Und die Linearität kann man vermutlich einfach über $\begin{eqnarray} (f+\lambda g)(x)=f(x)+\lambda g(x) \end{eqnarray}$ zeigen, falls das hier nicht anders definiert sein sollte.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »