Integral von einer bestimmten e-Funktion

09.08.2012, 01:38

chillerStudent

Integral von einer bestimmten e-Funktion

Hallo,

ich suche das Integral von der folgenden e-funktion:

$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty \! e^{-x*t}\, dt \end{eqnarray*}$

Ich kenne zwar die Lösung, aber mit welcher Formel rechne ich das? Mit substitution?

09.08.2012, 01:42

Che Netzer

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RE: Integral von einer bestimmten e-Funktion
Hallo,

reicht es dir nicht, das über $\begin{eqnarray*} \tfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\mathrm e^{ax}=a\mathrm e^{ax} \end{eqnarray*}$ bzw. über $\begin{eqnarray*} \int\mathrm e^{ax}\mathrm dx=\tfrac1a\mathrm e^{ax} \end{eqnarray*}$ zu lösen?

Ansonsten könntest du tatsächlich substituieren, also $\begin{eqnarray*} y=-xt \end{eqnarray*}$ , aber das halte ich für ein wenig übertrieben.

mfg,
Ché Netzer

09.08.2012, 02:01

chillerStudent

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wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} \int\mathrm e^{ax}\mathrm dx=\tfrac1a\mathrm e^{ax} \end{eqnarray*}$ ?

Das möchte ich gerne wissen.

09.08.2012, 02:04

Che Netzer

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Na gut, die Integrationskonstante habe ich mal unterschlagen...

Ansonsten kann man das über die Ableitung und den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung lösen.
Bekannt sollte sein, dass
$\begin{eqnarray*} \tfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\mathrm e^{ax}=a\mathrm e^{ax} \end{eqnarray*}$ .
Jetzt kann man da noch ein $\begin{eqnarray*} \tfrac1a \end{eqnarray*}$ vorschreiben und hat eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{ax} \end{eqnarray*}$ .

09.08.2012, 12:01

chillerStudent

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Wieso schreibt man noch das 1/a davor? Wie berechnet man das?

09.08.2012, 12:03

Che Netzer

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Wie soll man was berechnen?
Das Multiplizieren mit $\begin{eqnarray*} \tfrac1a \end{eqnarray*}$ ist einfach eine Äquivalenzumformung.
Danach sieht man direkt eine Funktion, deren Ableitung $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{ax} \end{eqnarray*}$ ist, sie ist also eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{ax} \end{eqnarray*}$ , was ja gesucht ist.

09.08.2012, 12:09

chillerStudent

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Zitat:

Wie soll man was berechnen?

Wie kommt man rechnerisch auf 1/a ?
Äquivalenzumformung ist mir nicht so bekannt.

09.08.2012, 12:16

Che Netzer

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Wenn man $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{ax} \end{eqnarray*}$ ableitet, erhält man den Vorfaktor $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ . Wenn man also $\begin{eqnarray*} \tfrac1a\mathrm e^{ax} \end{eqnarray*}$ ableitet, kürzen sich die Vorfaktoren und es bleibt $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{ax} \end{eqnarray*}$ übrig. Jetzt kann man wie gesagt durch den Hauptsatz- der Differential- und Integralrechnung etwas über die Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{ax} \end{eqnarray*}$ aussagen.

Und dass dir Äquivalenzumformungen nicht bekannt sind, glaube ich nicht! Höchstens unter einem anderen Namen.
Aber du hast sicher irgenwann mal eine Gleichung umgeformt, oder?

09.08.2012, 13:24

chillerStudent

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Wieso soll ich das ableiten $\begin{eqnarray*} \tfrac1a\mathrm e^{ax} \end{eqnarray*}$
woher hast du das?

10.08.2012, 21:22

Che Netzer

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Das führt mich zu folgender Frage:
Kennst du den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung?

Naja, zur Frage, woher dieser Term kommt:
Man sollte wissen, dass die Ableitung der Exponentialfunktion wieder die Exponentialfunktion ist. Bei einem Exponenten $\begin{eqnarray*} ax \end{eqnarray*}$ kommt also der Faktor $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ hinzu. Da kann man sich leicht überlegen, dass dieser Faktor beim Integrieren wieder durch den Faktor $\begin{eqnarray*} \tfrac1a \end{eqnarray*}$ verschwinden muss.

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