Ungleichungen

09.08.2012, 08:15

Dreher

Ungleichungen

Hallo,

ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe:

"Bestimmen Sie die reellen Lösungsmengen der folgenden Ungleichungen"

|x²-9|<|x-1|

Die Lösung der Aufgabe lautet folgendermaßen:

-(x²-9) = -(x-1) (mit x<0) => x1 = -3,702

x²-9 = -(x-1) (mit x<0) => x2 = -2,372

x²-9 = x-1 (mit x>0) => x3 = 2,702

-(x²-9) = x-1 (mit x>0) => x4 = 3,372

Die Glecihungen verstehe ich, dort liegt nicht das Problem, sondern bei den Lösungen. Ich habe gerechnet wie verrückt, aber ich komme einfach nicht auf die selben Ergebnisse. Zwar habe ich die gleichen Zahlen raus bekommen, aber zu jeweils vertauschten Gleichungen.

Meine Frage ist jetzt, habe ich etwas übersehen, oder hat sich in meinem Buch ein Fehler eingeschlichen?

09.08.2012, 08:30

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ungleichungen
Deine Fallunterscheidungen mit x < 0 und x > 0 sind nicht wirklich zielführend. Interessant sind die Stellen, wo die Beträge jeweils gleich Null sind. Dann mußt du Fallunterscheidungen für die x-Stellen machen, die jeweils links bzw. rechts dieser Stellen liegen.

13.08.2012, 09:46

Dreher

Auf diesen Beitrag antworten »

Das habe ich jetzt nicht so ganz verstanden. Ich bin folgendermaßen vorgegangen:

Bsp. 1 Gleichung:

-(x²-9) = -(x-1)

-x²+9 = -x+1

-x²+x-8 = 0

(Lösungsformel)

x1 = -2,372

(x2 = 3,372)

diese beiden Lösungen gibt es zwar, passen jedoch nicht zu dieser Gleichung. Laut Buch muss die Lösung x1 = -3,702 sein. Ist meine Vorgehensweise falsch?

13.08.2012, 10:11

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Dreher
Bsp. 1 Gleichung:

-(x²-9) = -(x-1)

Da läßt du einfach die Betragsstriche weg bzw. machst Klammern daraus und schreibst ein Minus davor. Und da mußt du doch auch die Frage beantworten können, für welche x dieses Vorgehen zulässig ist.

13.08.2012, 11:31

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

@Dreher

Rationellstes Vorgehen für Ungleichungen mit äußeren (!) Betragsstrichen auf beiden Seiten, z.B. wie hier

$\begin{eqnarray*} |a| < |b| \end{eqnarray*}$

ist das Quadrieren: Da auf beiden Seiten hier garantiert nichtnegative Werte stehen, ist das in diesem Fall tatsächlich mal eine äquivalente Umformung (sonst i.a. ja nicht). Das entstehende $\begin{eqnarray*} a^2<b^2 \end{eqnarray*}$ lässt sich weiter zu

$\begin{eqnarray*} a^2-b^2 < 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a-b)(a+b) < 0 \end{eqnarray*}$

äquivalent umformen, was dann schon die Dinge erheblich kompakter schreiben lässt - im Vergleich zu einer vollständigen Fallunterscheidung

$\begin{eqnarray*} a<0, b<0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a<0, b\geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a\geq 0, b<0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a\geq 0, b\geq 0 \end{eqnarray*}$ .

Im vorliegenden Fall mit $\begin{eqnarray*} a=x^2-9 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=x-1 \end{eqnarray*}$ wäre man dann also bei

$\begin{eqnarray*} (x^2-x-8)(x^2+x-10) < 0 \end{eqnarray*}$

angelangt. Und an dieser Darstellung erkennt man auch sauber die Bedeutung der vier im ersten Beitrag berechneten Lösungen diverser quadratischer Gleichungen, vor allem wie sie in die Ungleichungslösung einfließen. Zu dieser Verbindung hast du dich nämlich bisher überhaupt nicht geäußert. unglücklich

16.08.2012, 08:00

Dreher

Auf diesen Beitrag antworten »

@Hal

Danke! Daran habe ich gar nicht gedacht, jetzt bin ich auch auf die Lösungen gekommen.

@klarsoweit

ich verstehe immer noch nicht, wie er mit folgender Gleichung

-(x²-9) = -(x-1)

-x²+9 = -x+1

-x²+x-8 = 0

auf x1 = -3,702 kommt.

Laut Lösungsformel ist das x1 = -3,372 und x2 = 2,372.

Mein Problem ist folgendes:

1. Sind es zwei ganz andere Werte

2. Gibt es diese Lösungen zwar, aber das Vorzeichen passt nicht dazu

Können wir das evtl. noch kurz erörtern und den Thread noch offen lassen, da es mir wichtig ist, auch die andere Variante zu verstehen und ich einfach nicht drauf komme was ich dort falsch mache.

16.08.2012, 08:35

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Dreher
ich verstehe immer noch nicht, wie er mit folgender Gleichung

-(x²-9) = -(x-1)

-x²+9 = -x+1

-x²+x-8 = 0

auf x1 = -3,702 kommt.

Erstmal muß es -x² + x + 8 = 0 heißen. Die Nullstellen kann man leicht an dem Plot ablesen:

Aber mit diesen Lösungen hast du noch nicht die Lösungen der Ungleichung. Da muß noch etwas Hirnschmalz reingesteckt werden. Am folgenden Plot kann man mal den Lösungsbereich ablesen:

Neue Frage »

Antworten »

Ungleichungen

Verwandte Themen