Induktion einer Ungleichung

31.01.2007, 20:46

Gast678688

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Induktion einer Ungleichung

Hi Leute!

Vieleicht kann mir hier jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen...ich finde irgendwie keinen Anfang!

Gegeben ist folgendes Entwicklungsgesetz:

$\begin{eqnarray*} x_{n+1} = \frac{2x_{n}}{x_{n}+1} , n\geq 0 \end{eqnarray*}$

a) Zeigen Sie per vollständiger Induktion, dass die Ungleichung $\begin{eqnarray*} x_{n}>1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \geq 0 \end{eqnarray*}$ gilt.

b) Zeigen Sie unter Verwendung der Aussage in a), dass ( $\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ ) eine monoton fallende Folge ist.

c) Begründen sie warum die Folge einen Grenzwert hat.

d) Gibt es einen Wert $\begin{eqnarray*} x_{n}>o \end{eqnarray*}$ für den $\begin{eqnarray*} x_{n+1} = x_{n} \end{eqnarray*}$ gilt?

Wäre nett wenn mir da jemand helfen kann! Danke!

31.01.2007, 21:04

papahuhn

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RE: Induktion einer Ungleichung

Zitat:

Original von Gast678688
...ich finde irgendwie keinen Anfang!

Ich auch nicht. Big Laugh

Big Laugh

Was ist $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ?

Was hast du denn bisher hinbekommen?

31.01.2007, 21:22

Gast678688

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Ups...sry Xo=19 hab ich ganz vergessen... Hammer

Hammer

31.01.2007, 21:27

papahuhn

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Ok. Dann bleibt immer noch die Frage, was du Dir bisher gedacht hast. Wo sind die Probleme? Zumindest Teil c) solltest du aus der Formulierung von a) und b) begründen können.

01.02.2007, 15:59

Gast678688

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Es geht mir hierbei weniger um die Aufgabe c) sondern eher um die Induktion aus a). Ich habe die Aufgabe nur der Vollständigkeit halber komplett gepostet!
Das Problem ist, ich weis nicht einmal wie ich bei Aufgabe a) anfangen soll...

01.02.2007, 16:04

therisen

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Man fängt mit dem Induktionsanfang an: $\begin{eqnarray*} x_0=19>1 \end{eqnarray*}$

Induktionsannahme: Es gilt $\begin{eqnarray*} x_n>1 \end{eqnarray*}$ .
Dann zeigen wir, dass auch $\begin{eqnarray*} x_{n+1}>1 \end{eqnarray*}$ gilt, also $\begin{eqnarray*} x_{n+1}=\frac{2x_n}{x_n+1} > 1 \end{eqnarray*}$ . Mach das mal.

Gruß, therisen

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01.02.2007, 16:40

Gast678688

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Ok!

$\begin{eqnarray*} x_{1}= \frac{2 \cdot 19}{19+1}= 1,9 >1 \end{eqnarray*}$

ist das so korrekt?

01.02.2007, 16:44

therisen

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Ja, aber es bringt nichts für die Aufgabe Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.02.2007, 16:46

piloan

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nein
du sollst die induktionsannahme: $\begin{eqnarray*} x_n>1 \end{eqnarray*}$ benutzen um

$\begin{eqnarray*} x_{n+1}=\frac{2x_n}{x_n+1} > 1 \end{eqnarray*}$ . zu beweisen.

Wenn du weisst,dass $\begin{eqnarray*} x_n>1 \end{eqnarray*}$ ,dann schaetze doch
$\begin{eqnarray*} \frac{2x_n}{x_n+1} \end{eqnarray*}$ ab Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.02.2007, 16:56

Gast678688

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Ich versteh es irgendwie nicht...
Wie meinst du das mit abschätzen? Das Xn+1 > 1 wenn Xn > 1 ist, sieht man ja auf den 1. Blick. Aber wie kann das bewiesen werden? unglücklich

unglücklich

01.02.2007, 17:03

therisen

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Ausgehend von $\begin{eqnarray*} x_n>1 \end{eqnarray*}$ addierst du auf beiden Seiten $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ dazu und dividierst anschließend durch $\begin{eqnarray*} x_n+1 \end{eqnarray*}$ . Fertig.

01.02.2007, 17:22

Gast678688

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Also

$\begin{eqnarray*} \frac{2x_{n}}{x_{n+1}}> \frac{1+x_{n}}{x_{n+1}} \end{eqnarray*}$

??

01.02.2007, 17:48

therisen

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Wo kommt denn das $\begin{eqnarray*} x_{n+1} \end{eqnarray*}$ auf einmal her??

Deine Ausgangsgleichung lautet $\begin{eqnarray*} x_n>1 \end{eqnarray*}$ . Siehst du da irgendwo ein $\begin{eqnarray*} x_{n+1} \end{eqnarray*}$ ??

01.02.2007, 18:25

Gast678688

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öhm, das Xn+1 komme daher, weil du sagtest ich soll anschließend durch Xn+1 dividieren...
Ich hab mich allerdings verschrieben..es sollte eigentlich so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{2x_{n}}{x_{n}+1} > \frac{x_{n}+1}{x_{n}+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2x_{n}}{x_{n}+1} > 1 \end{eqnarray*}$

stimmt es so?

01.02.2007, 18:27

therisen

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Ja, jetzt passt es.

Nun, was fällt dir denn auf, wenn du dir die linke Seite der Ungleichung anschaust? Der Term sollte dir bekannt vorkommen.

01.02.2007, 18:28

Gast678688

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Ja jetzt ist es klar!
Vielen Dank für die Hilfe!

01.02.2007, 18:29

piloan

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warum machst du nicht folgendes:
diese ungleichung gilt wegen der Induktionsannahme:

$\begin{eqnarray*} \frac{2x_n}{x_n+1} >\frac{2*1}{1+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{n+1}=\frac{2x_n}{x_n+1} >\frac{2*1}{1+1} =\frac{2}{2}=1 \end{eqnarray*}$ .

daraus folgt $\begin{eqnarray*} x_{n+1}>1 \end{eqnarray*}$

01.02.2007, 18:32

therisen

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Zitat:

Original von piloan
warum machst du nicht folgendes:
diese ungleichung gilt wegen der Induktionsannahme:

$\begin{eqnarray*} \frac{2x_n}{x_n+1} >\frac{2*1}{1+1} \end{eqnarray*}$

Diese Abschätzung ist meiner Meinung nach nicht offensichtlich und in allgemeineren Situationen wohl falsch.

Gruß, therisen

01.02.2007, 20:07

piloan

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Aber ich benutze doch nur die Voraussetzung der Induktion,dass x_n>1 .
Die Abschaetzung ist doch nur die Nutzung der Voraussetzung.Das gleiche machst du doch auch.

gruß smile

smile

01.02.2007, 20:09

therisen

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Was mich stört ist die damit verbundene falsche Abschätzung $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+x_n} > \frac{1}{1+1} \end{eqnarray*}$ , d.h. du schätzt einmal nach unten und einmal nach oben ab aber am Schluss behauptest du, dass du insgesamt nach unten abgeschätzt hast.

01.02.2007, 20:11

piloan

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angenommen Augenzwinkern

Augenzwinkern

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