Problem Austausch von Elementen |
| 09.08.2012, 14:06 | kismet | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Problem Austausch von Elementen Also das Problem ist folgendes: Man hat eine Urne mit X roten Kugeln. Es wird jetzt eine Kugel gezogen und für die gezogene eine grüne Kugel zurückgelegt, egal, ob es sich bei der gezogenen um eine rote oder grüne Kugel handelt. (Die Anzahl der Kugeln bleibt also gleich.) Die Frage lautet: Wie viele Züge braucht man, bis sich wahrscheinlich keine rote Kugel mehr in der Urne befindet? Diese Frage kann man auf zwei Arten interpretieren: a) Wie viel Züge dauert es, bis die Anzahl 0 von roten Kugeln wahrscheinlicher ist als jede andere Anzahl n ungleich 0 von roten Kugeln? b) Wie viel Züge dauert es, bis die Anzahl 0 von roten Kugeln wahrscheinlicher ist als die Summe der Wahscheinlichkeiten für alle anderen Anzahlen n ungleich 0. Also im ersten Fall geht's darum dass Anzahl 0 die wahscheinlichste Anzahl ist, bei zweiten, dass 0 tatsächlich insgesamt am wahrscheinlichsten ist. Ich habe jetzt ein Computerprogramm geschrieben und wenn da kein Fehler drinsteckt, kommt bei X=600 z.B. heraus: a) 3843 b) 4058 Kann das jemand bestätigen ;-) ? Und gibt's dafür eine einfache Formel, um das auszurechnen? |
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| 12.08.2012, 15:54 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Problem Austausch von Elementen Deine Zahlen kann ich bestätigen. Hoffnung auf große Vereinfachungen bei der Berechnung kann ich dir nicht machen. Ich nenne die Gesamtzahl der Kugeln mal n, weil man mit X gern eine Zufallsvariable bezeichnet. Dein Problem ist eine andere Einkleidung des gut bekannten "Sammelkartenproblems" bzw. des "coupon collector's problem". Das ist hier im Board schon des öfteren besprochen worden. Eine Boardsuche hilft. Auch in der deutschen und der englischen Wikipedia ist das Problem besprochen. Es sei T die Zufallsvariable, die die Runden zählt, bis man nur noch grüne Kugeln in der Urne hat (gleich bis man von jeder zu sammelnden Karte mindestens ein Exemplar hat). Dann ist der Erwartungswert von T relativ leicht zu berechnen. Es ist. E(T) ist aber nicht das, was du bei a) oder b) gefragt hast. Die Wahrscheinlichkeit p(r, n), dass man nach r Runden nur noch grüne Kugeln in der Urne hat, lässt sich mit der Siebformel berechnen: Das mag es etwas erleichtern zu bestimmen, ab welchem r gilt , was deiner Frage b) entspricht. Bei Frage a) ist es vermutlich am einfachsten, alle Wahrscheinlichkeiten rundenweise iterativ zu berechnen. |
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| 12.08.2012, 16:57 | andyrue | Auf diesen Beitrag antworten » |
ne frage am rand: ist das bestandteil von schulmathematik (abi), weil ich eine vergleichbare aufgabe bisher nicht in meinem buch (leistungskurs abi-mathe) gefunden habe. andy |
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| 12.08.2012, 17:46 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das geht klar über Schulmathematik hinaus. Vielleicht kann ein Mod es verschieben. |
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| 14.08.2012, 07:00 | kismet | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Problem Austausch von Elementen Vielen Dank für diese Antwort! "Coupon's collector problem" - sehr gut! Es ist doch beruhigend zu wissen, dass, wenn man ein Problem hat, irgendjemand vorher das schon mal behandelt hat. Den Artikel in der Wikipedia guck ich mir an .... Viele Grüße, Hajo |
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