Bestimmen aller holomorphen Funktionen, Abschätzung

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LyriaEL Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimmen aller holomorphen Funktionen, Abschätzung
Hallo,

Ich bereite mich gerade auf meine Klausur für Analysis IV und bearbeite deswegen alte Klausuren. Frisch und munter ging ich dran, ... - das war vor ein paar Stunden... -.-

Aufgabe
Bestimmen Sie alle holomorphen Funktion mit .

Lösungsansatz
Ich hab jetzt schon eine längere Online-Suche hinter mir und hab doch das ein, oder andere zusammen bekommen.
Ich bin mir aber nicht sicher, ob das wirklich so geht:

Definiere mit

aus den Bedingungen für |f(z)| folgt:
, also ist g beschränkt und offensichtlich auch holomorph, rsp. eine ganze Funktion.

Damit sind die Bedingungen für den Satz von Liouville erfüllt und es folgt, dass g konstant ist.


Somit ist f von der Form


Da aber gilt, dass , muss oder anders gesagt:

mit sind die gesuchten holomorphen Funktionen.


Aaalso, macht das Sinn so? Wie gesagt, die Idee ist nicht von mir, die habe ich von ähnlichen Aufgaben übernommen. Ist das ganze Gebastel mit der g Funktion überhaupt nötig? oder ist es nicht einmal sinnvoll?

Ich würde mich sehr über ein Feedback freuen!

Liebe Grüsse
lyri
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Die Idee ist gut, das Problem ist nur, dass g erstmal nicht in der 0 definiert ist. g ist aber beschränkt (wie du schon gesagt hast) und damit nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz in der 0 hebbar. Und dann sollte es klappen.
LyriaEL Auf diesen Beitrag antworten »

Zum Riemannscher Hebbarkeitssatz, der sieht auf den ersten Blick etwas kompliziert aus, ist aber nicht so böse wie ich glaubte. ^^

Vorraussetzungen: g ist auf holomorph, nun gilt, dass eine hebbare Singularität ist, wenn es ein epsilon > 0 gibt mit und g auf diese Umgebung beschränkt.

mit wäre das erfüllt durch epsilon < 1, ja?
Damit wäre g hebbar und es passt alles.


Trotzdem noch die Frage, ich finde das ganze ist extreeeeem bei den Haaren herbei gezogen. Weiss man einfach aus Erfahrung, dass man sowas mit einer g-Funktion lösen kann? Ich kann mir zwar den Lösungsweg merken, aber wirklich sinnmachen tut er nicht für mich unglücklich
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man den Riemannschen Hebbarkeitssatz mal so formuliert:

"Eine isolierte Singularität ist genau dann hebbar, wenn die Funktion in ihrer Nähe beschränkt ist",

dann hört er sich doch sehr einfach an. Und ja bei unserem g hier ist das offensichtlich erfüllt.

Warum findest du das an den Haaren herbeigezogen? Mir kommt es eher so vor, dass man diesen Trick, dass man eine leicht veränderte Funktion betrachtet um darauf einen dieser mächtigen Sätze der Funktionentheorie anzuwenden, sehr sehr häufig anwendet.

Hier springt einem ja geradezu ins Auge, dass man mal mit z multiplizieren sollte.
LyriaEL Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, der Satz ist das Ziel und g der Weg! geschockt

Das ist das Problem wenn man mit fremden Lösungen arbeitet...
Für mich sah das so aus: Man nimmt eine Funktion g und zufälligerweise existiert ein Satz der passt. Aber in diesem Fall ist es eher so: Man hat einen Satz den man verwenden möchte und mit Hilfe von g kann man die Voraussetzungen erfüllen.

Na dann hoffe ich, dass ich grundsätzlich etwas gelernt habe und nicht nur für diese Aufgabe smile

Hab vielen Dank für deine Hilfe, tmo Freude
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